Номер 4.56, страница 97 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.56. Постройте окружность радиуса $\text{R}$, проходящую через две заданные точки (рис. 4.26).

Рис. 4.26

Анализ

Пусть даны две точки $A$ и $B$ и заданный радиус $R$. Требуется построить окружность радиуса $R$, которая проходит через обе эти точки. Пусть $O$ — центр искомой окружности. По определению окружности, расстояние от ее центра до любой точки на ней равно радиусу. Следовательно, расстояния от центра $O$ до точек $A$ и $B$ должны быть равны $R$. То есть, должны выполняться условия $OA = R$ и $OB = R$. Геометрическое место точек, удаленных от точки $A$ на расстояние $R$, — это окружность с центром в точке $A$ и радиусом $R$. Аналогично, геометрическое место точек, удаленных от точки $B$ на расстояние $R$, — это окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R$. Искомый центр $O$ должен удовлетворять обоим условиям, а значит, он должен принадлежать обеим этим окружностям. Таким образом, центр $O$ является точкой пересечения двух окружностей: одной с центром в $A$ и радиусом $R$, и другой с центром в $B$ и радиусом $R$. Ответ:

Построение

1. Возьмем циркуль и установим его раствор равным заданному радиусу $R$. 2. Поставим иглу циркуля в точку $A$ и проведем дугу окружности радиуса $R$. 3. Не меняя раствора циркуля, поставим его иглу в точку $B$ и проведем вторую дугу окружности радиуса $R$ так, чтобы она пересекала первую. 4. Точки пересечения этих дуг (обозначим их $O_1$ и $O_2$) являются возможными центрами искомой окружности. 5. Установим иглу циркуля в одну из найденных точек, например $O_1$, и, сохранив раствор циркуля равным $R$, проведем окружность. Эта окружность будет проходить через точки $A$ и $B$. Ответ:

Доказательство

Рассмотрим построенную окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $R$. Точка $O_1$ была найдена как точка пересечения двух окружностей: окружности с центром в $A$ и радиусом $R$, и окружности с центром в $B$ и радиусом $R$. По построению, так как $O_1$ лежит на первой окружности, расстояние от $O_1$ до $A$ равно $R$, то есть $O_1A = R$. Так как $O_1$ лежит и на второй окружности, расстояние от $O_1$ до $B$ также равно $R$, то есть $O_1B = R$. Таким образом, окружность с центром в $O_1$ и радиусом $R$ проходит через обе точки $A$ и $B$, что и требовалось доказать. Ответ:

Исследование

Количество возможных решений задачи зависит от соотношения между расстоянием $d = AB$ между точками $A$ и $B$ и заданным радиусом $R$. Две вспомогательные окружности (с центрами в $A$ и $B$ и радиусом $R$) могут пересекаться, касаться или не иметь общих точек. 1. Если $AB > 2R$. Расстояние между точками $A$ и $B$ больше, чем диаметр искомой окружности. В этом случае вспомогательные окружности, построенные в шагах 2 и 3, не будут пересекаться. Следовательно, найти центр $O$ невозможно, и задача не имеет решений. 2. Если $AB = 2R$. В этом случае точки $A$ и $B$ являются концами диаметра искомой окружности. Вспомогательные окружности будут касаться друг друга в одной точке, которая является серединой отрезка $AB$. Эта точка и будет единственным возможным центром $O$. Задача имеет одно решение. 3. Если $AB < 2R$. Вспомогательные окружности пересекутся в двух разных точках $O_1$ и $O_2$. Каждая из этих точек может служить центром искомой окружности. Эти две окружности будут симметричны относительно прямой $AB$. Задача имеет два решения. Ответ: