Номер 5.11, страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.11. В равнобедренном треугольнике один из углов равен $120^\circ$, а основание равно $\text{10}$ см. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне.

5.11. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AC$ – основание, а $AB$ и $BC$ – боковые стороны. Согласно условию, длина основания $AC = 10$ см.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В условии сказано, что один из углов равен $120°$. Этот угол не может быть углом при основании, так как сумма двух таких углов ($120° + 120° = 240°$) уже превышает сумму всех углов треугольника ($180°$). Следовательно, $120°$ – это угол при вершине, противолежащей основанию. Таким образом, $\angle B = 120°$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Найдем углы при основании $\angle A$ и $\angle C$:

$\angle A = \angle C = (180° - \angle B) / 2 = (180° - 120°) / 2 = 60° / 2 = 30°$.

Нам необходимо найти высоту, проведенную к боковой стороне. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на боковые стороны, равны. Найдем высоту $AH$, проведенную из вершины $A$ к прямой, содержащей боковую сторону $BC$.

По определению высоты, $AH$ перпендикулярна прямой $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHC$. В этом треугольнике гипотенузой является сторона $AC$ (основание исходного треугольника), $AC = 10$ см. Угол $\angle ACH$ – это угол при основании $\angle C$, который равен $30°$. Катет $AH$ – это искомая высота.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. В треугольнике $AHC$ катет $AH$ лежит напротив угла $\angle ACH = 30°$. Следовательно:

$AH = \frac{1}{2} \cdot AC$

Подставим известное значение длины $AC$:

$AH = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

Ответ: 5 см.