Номер 5.10, страница 103 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.10*. Докажите, что если точка X лежит внутри треугольника ABC, то $XB + XC < AB + AC$.

Пусть дана точка X, лежащая внутри треугольника ABC. Необходимо доказать неравенство $XB + XC < AB + AC$.

Проведём луч BX до пересечения со стороной AC. Обозначим точку пересечения как Y. Поскольку точка X лежит внутри треугольника, точка Y будет лежать на отрезке AC, то есть между точками A и C.

Рассмотрим треугольник CYX. Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Следовательно: $XC < XY + YC$

Прибавим к обеим частям этого неравенства длину отрезка XB: $XB + XC < XB + XY + YC$

Так как точка X лежит на отрезке BY, то сумма длин отрезков XB и XY равна длине отрезка BY, то есть $XB + XY = BY$. Подставим это выражение в правую часть нашего неравенства: $XB + XC < BY + YC$ (1)

Теперь рассмотрим треугольник ABY. Применим к нему неравенство треугольника: $BY < AB + AY$

Подставим это выражение для BY в неравенство (1). Так как мы заменяем большую величину ($BY$) на еще большую ($AB+AY$), знак неравенства сохранится: $XB + XC < (AB + AY) + YC$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые: $XB + XC < AB + (AY + YC)$

Поскольку точка Y лежит на стороне AC, сумма длин отрезков AY и YC равна длине стороны AC, то есть $AY + YC = AC$. Выполним последнюю подстановку: $XB + XC < AB + AC$

Таким образом, мы доказали исходное утверждение.

Ответ: Неравенство $XB + XC < AB + AC$ доказано.