Номер 5.16, страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.16. Отрезок $BB_1$ — биссектриса треугольника $ABC$. Докажите, что $AB > B_1A$ и $BC > B_1C$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором отрезок $BB_1$ является биссектрисой угла $\angle B$. Это означает, что точка $B_1$ лежит на стороне $AC$ и делит угол $\angle B$ на два равных угла: $\angle ABB_1 = \angle CBB_1$. Нам необходимо доказать два неравенства: $AB > B_1A$ и $BC > B_1C$. Мы докажем каждое неравенство по отдельности, используя свойство о соотношении сторон и углов в треугольнике, которое гласит, что против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство неравенства $AB > B_1A$

Рассмотрим треугольник $ABB_1$. В этом треугольнике сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle AB_1B$, а сторона $B_1A$ (которую также можно обозначить $AB_1$) лежит напротив угла $\angle ABB_1$. Чтобы доказать, что $AB > B_1A$, нам достаточно доказать, что $\angle AB_1B > \angle ABB_1$.

Угол $\angle AB_1B$ является внешним углом для треугольника $CBB_1$. По теореме о внешнем угле треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle AB_1B = \angle B_1CB + \angle CBB_1$

Пусть $\angle C$ — это угол $\angle B_1CB$. Так как $BB_1$ — биссектриса, то $\angle CBB_1 = \frac{1}{2}\angle B$. Таким образом, мы можем переписать равенство как:

$\angle AB_1B = \angle C + \frac{1}{2}\angle B$

Теперь сравним этот угол с углом $\angle ABB_1$. Мы знаем, что $\angle ABB_1 = \frac{1}{2}\angle B$, поскольку $BB_1$ — биссектриса.

Получаем: $\angle AB_1B = \angle C + \angle ABB_1$.

Поскольку $C$ — это вершина треугольника $ABC$, угол $\angle C$ является положительной величиной, т.е. $\angle C > 0$. Отсюда следует, что $\angle C + \angle ABB_1 > \angle ABB_1$, а значит $\angle AB_1B > \angle ABB_1$.

Так как в треугольнике $ABB_1$ против большего угла $\angle AB_1B$ лежит большая сторона $AB$, мы заключаем, что $AB > B_1A$. Первое неравенство доказано.

Ответ: Неравенство $AB > B_1A$ доказано.

Доказательство неравенства $BC > B_1C$

Теперь рассмотрим треугольник $CBB_1$. В этом треугольнике сторона $BC$ лежит напротив угла $\angle BB_1C$, а сторона $B_1C$ лежит напротив угла $\angle CBB_1$. Чтобы доказать, что $BC > B_1C$, нам нужно доказать, что $\angle BB_1C > \angle CBB_1$.

Угол $\angle BB_1C$ является внешним углом для треугольника $ABB_1$. По теореме о внешнем угле треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle BB_1C = \angle B_1AB + \angle ABB_1$

Пусть $\angle A$ — это угол $\angle B_1AB$. Так как $BB_1$ — биссектриса, то $\angle ABB_1 = \angle CBB_1 = \frac{1}{2}\angle B$. Подставим это в равенство:

$\angle BB_1C = \angle A + \frac{1}{2}\angle B = \angle A + \angle CBB_1$.

Теперь сравним этот угол с углом $\angle CBB_1$.

Поскольку $A$ — это вершина треугольника $ABC$, угол $\angle A$ является положительной величиной, т.е. $\angle A > 0$. Отсюда следует, что $\angle A + \angle CBB_1 > \angle CBB_1$, а значит $\angle BB_1C > \angle CBB_1$.

Так как в треугольнике $CBB_1$ против большего угла $\angle BB_1C$ лежит большая сторона $BC$, мы заключаем, что $BC > B_1C$. Второе неравенство доказано.

Ответ: Неравенство $BC > B_1C$ доказано.