Страница 77 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника:

A. Равнобедренном.
B. Произвольном.
C. Равностороннем.
D. Такого треугольника не существует?

2. Медиана, проведенная к одной из сторон треугольника, перпендикулярна ей. Определите вид данного треугольника:

A. Прямоугольный.
B. Разносторонний.
C. Равнобедренный.
D. Нельзя определить.

3. Дан треугольник $ABC$, у которого $AB = BC = CA$. $CD$ — его биссектриса, $AD = 3$ см. Найдите периметр треугольника $ABC$:

A. 3 см.
B. 6 см.
C. 9 см.
D. 18 см.

4. Высота, проведенная к одной из сторон треугольника, делит ее пополам. Определите вид данного треугольника:

A. Прямоугольный.
B. Разносторонний.
C. Равнобедренный.
D. Нельзя определить.

5. Дан треугольник $ABC$, у которого $AB = BC = CA$. $BH$ — его высота. Периметр данного треугольника равен 42 см. Найдите $AH$:

A. 7 см.
B. 14 см.
C. 21 см.
D. 35 см.

6. Периметр треугольника равен 60 см. Его стороны относятся как 3:4:5. Найдите их:

A. 9 см, 12 см, 15 см.
B. 12 см, 16 см, 20 см.
C. 10 см, 20 см, 30 см.
D. 15 см, 20 см, 25 см.

7. Биссектриса, проведенная к одной из сторон треугольника, делит ее пополам. Определите вид данного треугольника:

A. Прямоугольный.
B. Разносторонний.
C. Равнобедренный.
D. Нельзя определить.

8. Периметр равнобедренного треугольника равен 32 см. Биссектриса угла, противолежащего основанию, делит треугольник на два треугольника, периметры которых равны по 24 см. Найдите эту биссектрису:

A. 6 см.
B. 8 см.
C. 12 см.
D. 16 см.

9. Два отрезка $EF$ и $GH$ в точке пересечения делятся пополам. Найдите отрезок $GF$, если $EH = 10$ см:

A. 5 см.
B. 10 см.
C. 15 см.
D. 20 см.

10. Для установления равенства двух равносторонних треугольников достаточно проверить равенство некоторых элементов. Каких именно:

A. Одной стороны.
B. Одного угла.
C. Одной стороны и одного угла.
D. Двух сторон?

11. В двух прямоугольных треугольниках равно по одному острому углу. Равенство каких еще их элементов достаточно проверить для того, чтобы установить равенство самих треугольников:

A. Второго острого угла.
B. Прилежащего катета.
C. Гипотенузы и второго острого угла.
D. Катета и второго острого угла?

12. Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Медиана, проведенная из вершины угла при основании, делит его периметр на две части, из которых одна больше другой на 2 см. Найдите боковую сторону треугольника:

A. 4 см.
B. 8 см.
C. 10 см.
D. 12 см.

13. Известно, что треугольник имеет один внешний прямой угол. Определите вид треугольника:

A. Прямоугольный.
B. Остроугольный.
C. Тупоугольный.
D. Нельзя определить.

14. Известно, что треугольник имеет один внешний острый угол. Определите вид треугольника:

A. Прямоугольный.
B. Остроугольный.
C. Тупоугольный.
D. Нельзя определить.

15. Определите вид треугольника, если один его внешний угол равен внутреннему углу:

A. Равносторонний.
B. Тупоугольный.
C. Прямоугольный.
D. Остроугольный.

16. Сравните углы треугольника $ABC$, если $AB = 5$ см, $AC = 7$ см, $BC = 6$ см:

A. $\angle A > \angle B > \angle C$.
B. $\angle A > \angle C > \angle B$.
C. $\angle C > \angle A > \angle B$.
D. $\angle B > \angle A > \angle C$.

17. Сравните углы треугольника $DEF$, если $DE = DF = 12$ см, $EF = 5$ см:

A. $\angle D < \angle E = \angle F$.
B. $\angle D > \angle E = \angle F$.
C. $\angle D > \angle E > \angle F$.
D. $\angle D < \angle F < \angle E$.

18. Сравните стороны треугольника $ABC$, если $\angle A < \angle B < \angle C$:

A. $AB < AC < BC$.
B. $AB < BC < AC$.
C. $AB > AC > BC$.
D. $AB > BC > AC$.

19. Сравните стороны треугольника $DEF$, если $\angle D > \angle E > \angle F$:

A. $DE > DF > EF$.
B. $EF > DF > DE$.
C. $DF > EF > DE$.
D. $EF > DE > DF$.

20. Сравните стороны треугольника $ABC$, если $\angle A < \angle B = \angle C$:

A. $AB < AC = BC$.
B. $BC < AB = AC$.
C. $AC > BC = AB$.
D. $AB > BC = AC$.

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны $60^\circ$. Высота, проведенная из любой вершины, является также медианой и биссектрисой. Рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ и его высоту $BH$, проведенную к стороне $AC$. Треугольники $ABH$ и $CBH$ являются прямоугольными (так как $BH$ — высота). У них общая сторона $BH$ (катет) и равные гипотенузы $AB = BC$ (стороны равностороннего треугольника). Следовательно, треугольники $ABH$ и $CBH$ равны по катету и гипотенузе. Поскольку это верно для любой высоты, то в равностороннем треугольнике любая высота делит его на два равных треугольника.
Ответ: C.

2. Пусть в треугольнике $ABC$ медиана $BM$ проведена к стороне $AC$. По определению медианы, $AM = MC$. По условию, медиана $BM$ перпендикулярна стороне $AC$, то есть $BM \perp AC$. Это означает, что $BM$ также является высотой. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CBM$. У них сторона $BM$ — общая, $AM = MC$ и углы $\angle BMA = \angle BMC = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $ABM$ и $CBM$ равны по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников: двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть $AB = BC$. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.
Ответ: C.

3. Треугольник $ABC$ является равносторонним, так как все его стороны равны ($AB = BC = CA$). В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная из любой вершины, является также медианой и высотой. $CD$ — биссектриса, проведенная к стороне $AB$, значит, она также является медианой. По определению медианы, точка $D$ делит сторону $AB$ пополам. Следовательно, $AB = 2 \cdot AD$. Так как $AD = 3$ см, то $AB = 2 \cdot 3 = 6$ см. Поскольку треугольник равносторонний, все его стороны равны 6 см. Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин всех его сторон: $P = AB + BC + CA = 6 + 6 + 6 = 18$ см.
Ответ: D.

4. Пусть в треугольнике $ABC$ высота $BH$ проведена к стороне $AC$. По определению высоты, $BH \perp AC$. По условию, высота делит сторону $AC$ пополам, то есть $AH = HC$. Это означает, что $BH$ также является медианой. Рассмотрим треугольники $ABH$ и $CBH$. У них сторона $BH$ — общая, $AH = HC$ и углы $\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $ABH$ и $CBH$ равны по двум катетам (или по первому признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что $AB = BC$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным.
Ответ: C.

5. Треугольник $ABC$ является равносторонним, так как $AB = BC = CA$. Его периметр равен 42 см. Так как все стороны равностороннего треугольника равны, то длина одной стороны равна $P / 3 = 42 / 3 = 14$ см. Таким образом, $AC = 14$ см. $BH$ — высота, проведенная к стороне $AC$. В равностороннем треугольнике высота также является медианой. Следовательно, точка $H$ является серединой стороны $AC$. Тогда $AH = AC / 2 = 14 / 2 = 7$ см.
Ответ: A.

6. Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$. По условию, их длины относятся как $3:4:5$. Это можно записать как $a = 3k$, $b = 4k$, $c = 5k$, где $k$ — коэффициент пропорциональности. Периметр треугольника — это сумма длин его сторон: $P = a + b + c$. Нам известно, что $P = 60$ см. Составим уравнение: $3k + 4k + 5k = 60$.$12k = 60$.$k = 60 / 12 = 5$.Теперь найдем длины сторон:$a = 3k = 3 \cdot 5 = 15$ см.$b = 4k = 4 \cdot 5 = 20$ см.$c = 5k = 5 \cdot 5 = 25$ см.Таким образом, стороны треугольника равны 15 см, 20 см и 25 см.
Ответ: D.

7. Пусть в треугольнике $ABC$ биссектриса $BD$ проведена из вершины $B$ к стороне $AC$. По определению биссектрисы, $\angle ABD = \angle CBD$. По условию, биссектриса делит сторону $AC$ пополам, то есть $AD = DC$. Это означает, что $BD$ также является медианой. В треугольнике, где биссектриса является медианой, этот треугольник является равнобедренным. По свойству биссектрисы треугольника, отношение сторон, между которыми она проходит, равно отношению отрезков, на которые она делит противолежащую сторону: $AB/BC = AD/DC$. Так как $AD=DC$, то $AD/DC = 1$. Следовательно, $AB/BC = 1$, откуда $AB = BC$. Треугольник $ABC$ является равнобедренным.
Ответ: C.

8. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, боковыми сторонами $AB = BC$ и биссектрисой $BD$, проведенной к основанию. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Обозначим длину боковой стороны $AB = BC = a$, длину основания $AC = b$, и длину биссектрисы $BD = h$. Периметр треугольника $ABC$ равен $P_{ABC} = AB + BC + AC = 2a + b = 32$ см. Биссектриса $BD$ делит треугольник $ABC$ на два треугольника: $ABD$ и $CBD$. Периметр треугольника $ABD$ равен $P_{ABD} = AB + AD + BD$. По условию, $P_{ABD} = 24$ см. Сумма периметров двух малых треугольников равна $P_{ABD} + P_{CBD} = (AB + AD + BD) + (BC + CD + BD)$. Так как $AD+CD=AC$, то эта сумма равна $AB+BC+AC+2 \cdot BD = P_{ABC} + 2 \cdot BD$. Получаем уравнение: $24 + 24 = 32 + 2h$. $48 = 32 + 2h$. $2h = 16$. $h = 8$ см.
Ответ: B.

9. Пусть отрезки $EF$ и $GH$ пересекаются в точке $O$. По условию, в точке пересечения они делятся пополам, что означает $EO = OF$ и $GO = OH$. Рассмотрим треугольники $EOH$ и $FOG$. В этих треугольниках: $EO = OF$ (по условию), $HO = GO$ (по условию), угол $\angle EOH$ равен углу $\angle FOG$ как вертикальные углы. Следовательно, треугольники $EOH$ и $FOG$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $GF$ в треугольнике $FOG$ соответствует стороне $EH$ в треугольнике $EOH$. Таким образом, $GF = EH$. Поскольку $EH = 10$ см, то $GF = 10$ см.
Ответ: B.

10. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны $60^\circ$. Если у двух равносторонних треугольников равна одна сторона, то равны и все остальные их стороны. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), такие треугольники будут равны. Проверки равенства углов недостаточно, так как у всех равносторонних треугольников углы равны $60^\circ$, но их стороны могут иметь разную длину.
Ответ: A.

11. Пусть даны два прямоугольных треугольника. По условию, у них равно по одному острому углу. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, а один угол прямой ($90^\circ$), то и вторые острые углы в этих треугольниках также будут равны. Таким образом, треугольники подобны. Чтобы они были равны, необходимо равенство хотя бы одной пары соответствующих сторон. Любой из признаков равенства прямоугольных треугольников, использующих угол (по катету и прилежащему/противолежащему углу, по гипотенузе и углу), требует задания одной стороны. Вопрос сформулирован во множественном числе "каких еще их элементов", что может указывать на соответствие одному из общих признаков равенства треугольников. Признак ASA (угол-сторона-угол) требует равенства двух углов и стороны между ними. В данном случае это два острых угла и гипотенуза между ними. Вариант "Гипотенузы и второго острого угла" формально соответствует этому признаку, хотя равенство второго острого угла и является следствием из условия.
Ответ: C.

12. Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC = x$, а основание $AC = 8$ см. Проведена медиана $AM$ к боковой стороне $BC$. Точка $M$ — середина $BC$, поэтому $BM = MC = x/2$. Медиана делит треугольник на два: $ABM$ и $AMC$. Их периметры: $P_{ABM} = AB + BM + AM = x + x/2 + AM = \frac{3x}{2} + AM$ и $P_{AMC} = AC + MC + AM = 8 + x/2 + AM$. По условию, разница их периметров равна 2 см.Случай 1: $P_{ABM} - P_{AMC} = 2$. $(\frac{3x}{2} + AM) - (8 + \frac{x}{2} + AM) = 2$. $\frac{2x}{2} - 8 = 2$, $x = 10$.Случай 2: $P_{AMC} - P_{ABM} = 2$. $(8 + \frac{x}{2} + AM) - (\frac{3x}{2} + AM) = 2$. $8 - \frac{2x}{2} = 2$, $x = 6$.Оба решения, $x=10$ и $x=6$, удовлетворяют неравенству треугольника. В вариантах ответа есть 10 см.
Ответ: C.

13. Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^\circ$. По условию, один из внешних углов треугольника является прямым, то есть его градусная мера равна $90^\circ$. Тогда смежный с ним внутренний угол треугольника будет равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Треугольник, один из углов которого равен $90^\circ$, называется прямоугольным.
Ответ: A.

14. Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме составляют $180^\circ$. По условию, один из внешних углов треугольника — острый, то есть его градусная мера меньше $90^\circ$. Пусть этот внешний угол равен $\alpha_{ext} < 90^\circ$. Смежный с ним внутренний угол $\alpha_{int} = 180^\circ - \alpha_{ext}$. Поскольку $\alpha_{ext} < 90^\circ$, то $\alpha_{int} > 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Таким образом, один из внутренних углов треугольника больше $90^\circ$. Треугольник, один из углов которого является тупым, называется тупоугольным.
Ответ: C.

15. Пусть внутренние углы треугольника $\alpha, \beta, \gamma$. Внешний угол при вершине $\gamma$ равен $\gamma_{ext}$. Смежный с ним внутренний угол $\gamma$. По свойству смежных углов $\gamma_{ext} + \gamma = 180^\circ$. По условию, внешний угол равен внутреннему. Если он равен смежному с ним внутреннему углу, то $\gamma_{ext} = \gamma$. Тогда $2\gamma = 180^\circ$, и $\gamma = 90^\circ$. Треугольник является прямоугольным. Если же внешний угол равен не смежному с ним внутреннему, например $\gamma_{ext} = \alpha$, то, используя свойство $\gamma_{ext} = \alpha + \beta$, получаем $\alpha = \alpha + \beta$, откуда $\beta=0$, что невозможно. Значит, верен первый случай.
Ответ: C.

16. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Даны стороны треугольника $ABC$: $AB = 5$ см, $BC = 6$ см, $AC = 7$ см. Расположим стороны в порядке возрастания их длин: $AB < BC < AC$ ($5 < 6 < 7$). Углы, лежащие против этих сторон: $\angle C$ (против $AB$), $\angle A$ (против $BC$) и $\angle B$ (против $AC$). Соответственно, их величины находятся в таком же соотношении: $\angle C < \angle A < \angle B$. В порядке убывания это выглядит как $\angle B > \angle A > \angle C$.
Ответ: D.

17. В треугольнике $DEF$ даны стороны $DE = 12$ см, $DF = 12$ см, $EF = 5$ см. Так как $DE = DF$, треугольник $DEF$ является равнобедренным с основанием $EF$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы, лежащие против равных сторон $DE$ и $DF$, это $\angle F$ и $\angle E$. Следовательно, $\angle E = \angle F$. Сравним угол при вершине $\angle D$ с углами при основании. Угол $\angle D$ лежит против стороны $EF = 5$ см. Угол $\angle E$ лежит против стороны $DF = 12$ см. Так как $DF > EF$ ($12 > 5$), то и угол, лежащий против $DF$, больше угла, лежащего против $EF$, то есть $\angle E > \angle D$. Объединяя результаты, имеем: $\angle D < \angle E = \angle F$.
Ответ: A.

18. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Дано соотношение углов треугольника $ABC$: $\angle A < \angle B < \angle C$. Стороны, лежащие против этих углов: $BC$ (против $\angle A$), $AC$ (против $\angle B$), $AB$ (против $\angle C$). Следовательно, для длин сторон будет выполняться такое же соотношение: $BC < AC < AB$. Запишем это неравенство в порядке убывания: $AB > AC > BC$.
Ответ: C.

19. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. В треугольнике $DEF$ дано соотношение углов: $\angle D > \angle E > \angle F$. Стороны, лежащие против этих углов: $EF$ (против $\angle D$), $DF$ (против $\angle E$), $DE$ (против $\angle F$). Следовательно, длины сторон находятся в таком же соотношении: $EF > DF > DE$.
Ответ: B.

20. В треугольнике $ABC$ дано соотношение углов $\angle A < \angle B = \angle C$. Из равенства углов $\angle B = \angle C$ следует, что треугольник $ABC$ является равнобедренным. Стороны, лежащие против равных углов, равны: сторона $AC$ (против $\angle B$) равна стороне $AB$ (против $\angle C$). Таким образом, $AC = AB$. Из неравенства $\angle A < \angle B$ следует, что сторона, лежащая против $\angle A$, меньше стороны, лежащей против $\angle B$. То есть $BC < AC$. Объединив результаты, получаем: $BC < AC$ и $AC = AB$, что можно записать как $BC < AB = AC$.
Ответ: B.