Страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.5. В треугольнике $ABC$ сторона $AB$ наибольшая. Каким может быть угол $C$?

В любом треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол. По условию задачи, в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ является наибольшей. Угол $C$ лежит напротив стороны $AB$. Следовательно, угол $C$ является наибольшим углом этого треугольника.

Это означает, что выполняются неравенства: $\angle C > \angle A$ и $\angle C > \angle B$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$. Из этого равенства можно выразить сумму углов $A$ и $B$: $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$.

Теперь сложим два неравенства, которые выполняются для угла $C$: $\angle C > \angle A$
$\angle C > \angle B$
Получаем: $\angle C + \angle C > \angle A + \angle B$, то есть $2\angle C > \angle A + \angle B$.

Подставим в полученное неравенство выражение для суммы углов $\angle A + \angle B$: $2\angle C > 180^\circ - \angle C$.

Решим это неравенство относительно $\angle C$. Прибавим $\angle C$ к обеим частям: $3\angle C > 180^\circ$.

Разделим обе части неравенства на 3: $\angle C > 60^\circ$.

Таким образом, мы нашли нижнюю границу для величины угла $C$. Верхняя граница определяется тем, что любой угол треугольника должен быть меньше $180^\circ$, так как сумма двух других углов всегда положительна ($\angle A + \angle B > 0$). Это означает, что $180^\circ - \angle C > 0$, откуда следует $\angle C < 180^\circ$.

Объединяя оба условия, получаем, что величина угла $C$ должна находиться в интервале от $60^\circ$ до $180^\circ$. Это означает, что угол $C$ может быть острым (если $60^\circ < \angle C < 90^\circ$), прямым (если $\angle C = 90^\circ$) или тупым (если $90^\circ < \angle C < 180^\circ$).

Ответ: угол $C$ должен быть больше $60^\circ$ и меньше $180^\circ$, то есть $60^\circ < \angle C < 180^\circ$.

12.6. Сравните углы треугольника $ABC$, если $AB = 7$ см, $BC = 10$ см и $AC = 5$ см.

Для сравнения углов треугольника $ABC$ необходимо использовать свойство, связывающее величины сторон и углов треугольника: в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

По условию задачи нам даны длины сторон треугольника $ABC$:

$AB = 7$ см

$BC = 10$ см

$AC = 5$ см

Сначала сравним длины сторон между собой. Расположим их в порядке возрастания:

$5 \text{ см} < 7 \text{ см} < 10 \text{ см}$

Это соответствует неравенству:

$AC < AB < BC$

Теперь определим, какие углы лежат напротив каждой из сторон:

• Напротив стороны $AC$ лежит угол $B$ (обозначается $\angle B$).

• Напротив стороны $AB$ лежит угол $C$ (обозначается $\angle C$).

• Напротив стороны $BC$ лежит угол $A$ (обозначается $\angle A$).

Согласно указанному выше свойству, соотношение между углами будет таким же, как и соотношение между противолежащими им сторонами. Так как $AC$ — наименьшая сторона, то противолежащий ей угол $\angle B$ будет наименьшим. Так как $BC$ — наибольшая сторона, то противолежащий ей угол $\angle A$ будет наибольшим.

Таким образом, из неравенства для сторон $AC < AB < BC$ следует неравенство для углов:

$\angle B < \angle C < \angle A$

Ответ: $\angle B < \angle C < \angle A$.

12.7. Известно, что в треугольнике $\triangle ABC$ $BC > AC > AB$. Какой из углов больше:

а) $B$ или $A$;

б) $C$ или $A$;

в) $B$ или $C$?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о соотношениях между сторонами и углами треугольника: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

По условию задачи в треугольнике $ABC$ известно соотношение длин сторон: $BC > AC > AB$.

В треугольнике $ABC$ угол $A$ (обозначается $\angle A$) лежит против стороны $BC$, угол $B$ ($\angle B$) — против стороны $AC$, и угол $C$ ($\angle C$) — против стороны $AB$.

Исходя из теоремы, неравенству для сторон $BC > AC > AB$ соответствует следующее неравенство для противолежащих им углов: $\angle A > \angle B > \angle C$.

Теперь, используя это неравенство, сравним углы в каждом пункте.

а) B или A
Сравниваем углы $A$ и $B$. Угол $A$ лежит против стороны $BC$, а угол $B$ – против стороны $AC$. Так как по условию $BC > AC$, то и угол, противолежащий стороне $BC$, больше угла, противолежащего стороне $AC$. Таким образом, $\angle A > \angle B$.
Ответ: Угол A больше угла B.

б) C или A
Сравниваем углы $C$ и $A$. Угол $A$ лежит против стороны $BC$, а угол $C$ – против стороны $AB$. Так как по условию $BC > AB$, то $\angle A > \angle C$.
Ответ: Угол A больше угла C.

в) B или C
Сравниваем углы $B$ и $C$. Угол $B$ лежит против стороны $AC$, а угол $C$ – против стороны $AB$. Так как по условию $AC > AB$, то $\angle B > \angle C$.
Ответ: Угол B больше угла C.

12.8. На рисунке 12.5 $DE < DF$. Каким соотношением связаны углы 1 и 2?

Рис. 12.5

Рассмотрим треугольник $DEF$. По условию задачи, сторона $DE$ меньше стороны $DF$, то есть $DE < DF$.

Согласно теореме о соотношении между сторонами и углами треугольника, против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике $DEF$ напротив стороны $DE$ лежит угол $\angle DFE$, а напротив стороны $DF$ лежит угол $\angle DEF$.

Поскольку $DE < DF$, то и противолежащие им углы связаны таким же неравенством: $\angle DFE < \angle DEF$.

Теперь проанализируем углы 1 и 2, изображенные на рисунке.

Угол 1 и угол $\angle DEF$ являются вертикальными углами. Следовательно, их величины равны: $\angle 1 = \angle DEF$.

Угол 2 и угол $\angle DFE$ являются смежными углами, так как они вместе образуют развернутый угол. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$: $\angle 2 + \angle DFE = 180^\circ$, откуда $\angle 2 = 180^\circ - \angle DFE$.

По теореме о сумме углов треугольника, для $\triangle DEF$ справедливо равенство: $\angle FDE + \angle DEF + \angle DFE = 180^\circ$.

Подставим в это равенство выражения для $\angle DEF$ и $\angle DFE$ через углы 1 и 2:

$\angle DEF = \angle 1$

$\angle DFE = 180^\circ - \angle 2$

Получим: $\angle FDE + \angle 1 + (180^\circ - \angle 2) = 180^\circ$.

Упростим выражение:

$\angle FDE + \angle 1 - \angle 2 = 180^\circ - 180^\circ$

$\angle FDE + \angle 1 - \angle 2 = 0$

$\angle 2 = \angle 1 + \angle FDE$

Так как $\angle FDE$ является углом треугольника, его градусная мера положительна: $\angle FDE > 0$. Из равенства $\angle 2 = \angle 1 + \angle FDE$ следует, что угол 2 больше угла 1 на величину угла $FDE$.

Следовательно, $\angle 1 < \angle 2$.

Ответ: $\angle 1 < \angle 2$.

12.9. Сравните стороны треугольника ABC, если:

а) $\angle A > \angle B > \angle C$;

б) $\angle A > \angle B = \angle C$.

а) Для решения задачи используется теорема о соотношении сторон и углов треугольника: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны — больший угол. Стороны в треугольнике $ABC$ принято обозначать так: сторона $BC$ лежит против угла $A$, сторона $AC$ — против угла $B$, и сторона $AB$ — против угла $C$.
По условию задано соотношение углов: $\angle A > \angle B > \angle C$.
1. Сравним углы $\angle A$ и $\angle B$. Так как $\angle A > \angle B$, то сторона, лежащая напротив угла $A$, больше стороны, лежащей напротив угла $B$. Следовательно, $BC > AC$.
2. Сравним углы $\angle B$ и $\angle C$. Так как $\angle B > \angle C$, то сторона, лежащая напротив угла $B$, больше стороны, лежащей напротив угла $C$. Следовательно, $AC > AB$.
3. Объединяя полученные неравенства $BC > AC$ и $AC > AB$, получаем итоговое соотношение для сторон треугольника: $BC > AC > AB$.
Ответ: $BC > AC > AB$.

б) В этом пункте используется та же теорема о соотношении сторон и углов, а также следствие из нее: против равных углов лежат равные стороны.
По условию задано соотношение углов: $\angle A > \angle B = \angle C$.
1. Сравним углы $\angle A$ и $\angle B$. Так как $\angle A > \angle B$, то сторона, лежащая напротив угла $A$, больше стороны, лежащей напротив угла $B$. Следовательно, $BC > AC$.
2. Сравним углы $\angle B$ и $\angle C$. Так как $\angle B = \angle C$, то стороны, лежащие напротив этих углов, равны. Следовательно, $AC = AB$.
3. Объединяя полученные результаты, получаем итоговое соотношение для сторон треугольника: $BC > AC = AB$.
Ответ: $BC > AC = AB$.

12.10. Докажите, что в треугольнике может быть только один:

а) прямой угол;

б) тупой угол.

Для доказательства обоих утверждений воспользуемся фундаментальной теоремой геометрии для евклидова пространства: сумма внутренних углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.

а) прямой угол

Прямым углом называется угол, равный $90^\circ$. Для доказательства будем использовать метод от противного.

Предположим, что в треугольнике существует два прямых угла. Обозначим углы треугольника как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Пусть $\alpha = 90^\circ$ и $\beta = 90^\circ$.

Сумма этих двух углов составит: $\alpha + \beta = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

По теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех углов должна быть равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Подставим сумму двух известных углов в это равенство:

$180^\circ + \gamma = 180^\circ$

Из этого уравнения следует, что третий угол $\gamma$ должен быть равен $0^\circ$.

Однако угол в треугольнике не может быть равен $0^\circ$, поскольку в этом случае все три вершины оказались бы на одной прямой, и такая фигура не являлась бы треугольником.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Наше первоначальное предположение о том, что в треугольнике может быть два прямых угла, является ложным. Следовательно, в треугольнике может быть только один прямой угол.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) тупой угол

Тупым углом называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Доказательство также проведем методом от противного.

Предположим, что в треугольнике есть два тупых угла. Пусть это будут углы $\alpha$ и $\beta$. По определению тупого угла:

$\alpha > 90^\circ$ и $\beta > 90^\circ$

Рассмотрим сумму этих двух углов:

$\alpha + \beta > 90^\circ + 90^\circ$

$\alpha + \beta > 180^\circ$

Получается, что сумма только двух углов треугольника уже превышает $180^\circ$.

Но согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех его углов ($\alpha$, $\beta$ и $\gamma$) должна быть строго равна $180^\circ$:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Так как любой угол треугольника является положительной величиной ($\gamma > 0^\circ$), то сумма двух других углов $\alpha + \beta$ должна быть строго меньше $180^\circ$ ($\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$).

Мы получили противоречие: из нашего предположения следует, что $\alpha + \beta > 180^\circ$, а из теоремы о сумме углов треугольника следует, что $\alpha + \beta < 180^\circ$.

Следовательно, наше предположение о возможности существования двух тупых углов в одном треугольнике неверно. В треугольнике может быть не более одного тупого угла.

Ответ: Что и требовалось доказать.

12.11. На рисунке 12.6 $AB > BC$. Докажите, что $\angle 1$ больше $\angle 2$.

Рис. 12.6

Рассмотрим треугольник $ABC$, изображенный на рисунке. Углы 1 и 2 являются внешними углами этого треугольника при вершинах $A$ и $C$ соответственно. Внутренний угол при вершине $A$ обозначим как $\angle BAC$, а внутренний угол при вершине $C$ как $\angle BCA$.

По условию задачи, сторона $AB$ больше стороны $BC$, то есть $AB > BC$.

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике $ABC$ против стороны $AB$ лежит угол $\angle BCA$, а против стороны $BC$ лежит угол $\angle BAC$. Так как $AB > BC$, то из этого следует, что $\angle BCA > \angle BAC$.

Угол 1 является внешним по отношению к внутреннему углу $\angle BAC$. Угол 1 и угол $\angle BAC$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$. Отсюда можно выразить величину угла 1: $\angle 1 = 180^\circ - \angle BAC$.

Аналогично, угол 2 и внутренний угол $\angle BCA$ являются смежными, и их сумма также равна $180^\circ$. Отсюда $\angle 2 = 180^\circ - \angle BCA$.

Нам необходимо доказать, что $\angle 1 > \angle 2$. Для этого сравним выражения для этих углов.

Мы установили, что $\angle BCA > \angle BAC$. Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-\angle BCA < -\angle BAC$.

Теперь прибавим $180^\circ$ к обеим частям полученного неравенства. Знак неравенства при этом не изменится: $180^\circ - \angle BCA < 180^\circ - \angle BAC$.

Подставим в это неравенство выражения для углов 1 и 2: $\angle 2 < \angle 1$.

Это неравенство равносильно тому, что $\angle 1 > \angle 2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $\angle 1 > \angle 2$ доказано.

12.12. На рисунке 12.7 $\angle 1 = \angle 2$, $AC > BD$. Докажите, что $\angle 3 < \angle 4$.

Рис. 12.7

Для решения данной задачи воспользуемся методом доказательства от противного, который в данном случае покажет, что условие задачи содержит ошибку. Мы докажем, что при заданных условиях ($ \angle 1 = \angle 2 $, $ AC > BD $) на самом деле выполняется неравенство $ \angle 3 > \angle 4 $.

Дано:

$ \angle 1 = \angle BAC $

$ \angle 2 = \angle ABD $

$ \angle 3 = \angle ADB $

$ \angle 4 = \angle BCA $

$ \angle 1 = \angle 2 $

$ AC > BD $

Доказать:

$ \angle 3 < \angle 4 $

Доказательство:

1. На отрезке $ AC $ отложим точку $ K $ так, что $ AK = BD $. Это возможно, так как по условию $ AC > BD $, поэтому точка $ K $ будет лежать между точками $ A $ и $ C $.

2. Рассмотрим треугольники $ \triangle ABK $ и $ \triangle BDA $.

У них:

• $ AK = BD $ по построению.
• $ AB $ — общая сторона.
• $ \angle KAB = \angle BAC = \angle 1 $. По условию $ \angle 1 = \angle 2 = \angle ABD $. Следовательно, $ \angle KAB = \angle ABD $.

Таким образом, $ \triangle ABK = \triangle BDA $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

3. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол, лежащий против общей стороны $ AB $ в $ \triangle ABK $, — это $ \angle AKB $. Угол, лежащий против общей стороны $ AB $ в $ \triangle BDA $, — это $ \angle ADB $ (то есть $ \angle 3 $).

Следовательно, $ \angle AKB = \angle ADB = \angle 3 $.

4. Теперь рассмотрим треугольник $ \triangle BKC $. Так как точка $ K $ лежит на отрезке $ AC $, угол $ \angle AKB $ является внешним углом для $ \triangle BKC $ при вершине $ K $.

5. По теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Значит, $ \angle AKB = \angle KBC + \angle KCB $.

6. Заметим, что $ \angle KCB $ — это тот же угол, что и $ \angle BCA $ (то есть $ \angle 4 $).

Подставим известные нам обозначения в равенство: $ \angle 3 = \angle KBC + \angle 4 $.

7. Так как $ \triangle BKC $ — это невырожденный треугольник (точки $ B $, $ K $, $ C $ не лежат на одной прямой), то угол $ \angle KBC $ имеет положительную меру, то есть $ \angle KBC > 0 $.

Из этого следует, что $ \angle 3 > \angle 4 $.

Вывод:

Наше доказательство, основанное на условиях задачи, приводит к выводу, что $ \angle 3 > \angle 4 $. Это противоречит тому, что требовалось доказать ($ \angle 3 < \angle 4 $).

Вероятнее всего, в условии задачи допущена опечатка. Если бы условие было $ AC < BD $, то доказательство привело бы к выводу $ \angle 3 < \angle 4 $. Либо при текущих условиях правильная формулировка задания была бы "Докажите, что угол 3 больше угла 4".

Ответ: При заданных условиях ($ \angle 1 = \angle 2 $ и $ AC > BD $) утверждение $ \angle 3 < \angle 4 $ неверно. Правильным следствием является неравенство $ \angle 3 > \angle 4 $.

12.13. Вершины треугольника $ABC$ соединены отрезками с точкой $D$, лежащей внутри этого треугольника, $AC > AB$, $CD = BD$ (рис. 12.8). Докажите, что угол $\angle ACD$ меньше угла $\angle ABD$.

Рис. 12.8

Для доказательства утверждения воспользуемся свойствами углов и сторон в треугольнике.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, сторона $AC$ больше стороны $AB$, то есть $AC > AB$. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, угол, противолежащий стороне $AC$, будет больше угла, противолежащего стороне $AB$. Таким образом, $\angle ABC > \angle ACB$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $BDC$. По условию, отрезки $CD$ и $BD$ равны: $CD = BD$. Это означает, что треугольник $BDC$ является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle DBC = \angle DCB$.

3. Точка $D$ лежит внутри треугольника $ABC$. Это означает, что луч $BD$ проходит между лучами $BA$ и $BC$, а луч $CD$ — между лучами $CA$ и $CB$. Поэтому мы можем представить углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$ в виде суммы углов:
$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$
$\angle ACB = \angle ACD + \angle DCB$

4. Подставим эти выражения в неравенство, полученное в первом пункте ($\angle ABC > \angle ACB$):
$\angle ABD + \angle DBC > \angle ACD + \angle DCB$

5. Из второго пункта мы знаем, что $\angle DBC = \angle DCB$. Мы можем вычесть эти равные величины из обеих частей неравенства, при этом знак неравенства не изменится:
$\angle ABD + \angle DBC - \angle DBC > \angle ACD + \angle DCB - \angle DCB$
$\angle ABD > \angle ACD$

6. Неравенство $\angle ABD > \angle ACD$ эквивалентно тому, что $\angle ACD < \angle ABD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. На основе свойств треугольников показано, что $\angle ACD < \angle ABD$.

12.14. Отрезки AE и BD пересекаются в точке C, $AB > BC$, $CD = DE$ (рис. 12.9). Докажите, что $\angle BAC$ меньше $\angle DEC$.

Рис. 12.9

Для доказательства утверждения последовательно рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDE$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи дано, что длина стороны $AB$ больше длины стороны $BC$, то есть $AB > BC$. Согласно теореме о соотношении между сторонами и углами треугольника, против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике $ABC$ угол $\angle BCA$ лежит против стороны $AB$, а угол $\angle BAC$ лежит против стороны $BC$. Следовательно, из неравенства $AB > BC$ вытекает, что $\angle BCA > \angle BAC$.

2. Рассмотрим треугольник $CDE$. По условию задачи дано, что длины сторон $CD$ и $DE$ равны, то есть $CD = DE$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Значит, $\triangle CDE$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол $\angle DCE$ лежит против стороны $DE$, а угол $\angle DEC$ — против стороны $CD$. Следовательно, $\angle DCE = \angle DEC$.

3. Связь между треугольниками. Отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $C$. Углы $\angle BCA$ и $\angle DCE$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов, они равны между собой: $\angle BCA = \angle DCE$.

4. Итоговое доказательство. Объединим полученные выводы. Из пункта 1 мы получили неравенство: $\angle BCA > \angle BAC$. Из пункта 3 мы знаем, что $\angle BCA = \angle DCE$. Подставим это равенство в неравенство: $\angle DCE > \angle BAC$. Из пункта 2 мы знаем, что $\angle DCE = \angle DEC$. Подставим это равенство в полученное выше неравенство: $\angle DEC > \angle BAC$.

Это неравенство эквивалентно тому, что $\angle BAC < \angle DEC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Используя теорему о соотношении сторон и углов в треугольнике, свойство равнобедренного треугольника и свойство вертикальных углов, мы показали, что из условий $AB > BC$ и $CD = DE$ следует, что $\angle BAC < \angle DEC$.