Номер 12.11, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.11. На рисунке 12.6 $AB > BC$. Докажите, что $\angle 1$ больше $\angle 2$.

Рис. 12.6

Рассмотрим треугольник $ABC$, изображенный на рисунке. Углы 1 и 2 являются внешними углами этого треугольника при вершинах $A$ и $C$ соответственно. Внутренний угол при вершине $A$ обозначим как $\angle BAC$, а внутренний угол при вершине $C$ как $\angle BCA$.

По условию задачи, сторона $AB$ больше стороны $BC$, то есть $AB > BC$.

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике $ABC$ против стороны $AB$ лежит угол $\angle BCA$, а против стороны $BC$ лежит угол $\angle BAC$. Так как $AB > BC$, то из этого следует, что $\angle BCA > \angle BAC$.

Угол 1 является внешним по отношению к внутреннему углу $\angle BAC$. Угол 1 и угол $\angle BAC$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$. Отсюда можно выразить величину угла 1: $\angle 1 = 180^\circ - \angle BAC$.

Аналогично, угол 2 и внутренний угол $\angle BCA$ являются смежными, и их сумма также равна $180^\circ$. Отсюда $\angle 2 = 180^\circ - \angle BCA$.

Нам необходимо доказать, что $\angle 1 > \angle 2$. Для этого сравним выражения для этих углов.

Мы установили, что $\angle BCA > \angle BAC$. Умножим обе части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $-\angle BCA < -\angle BAC$.

Теперь прибавим $180^\circ$ к обеим частям полученного неравенства. Знак неравенства при этом не изменится: $180^\circ - \angle BCA < 180^\circ - \angle BAC$.

Подставим в это неравенство выражения для углов 1 и 2: $\angle 2 < \angle 1$.

Это неравенство равносильно тому, что $\angle 1 > \angle 2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $\angle 1 > \angle 2$ доказано.