Номер 12.14, страница 70 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.14. Отрезки AE и BD пересекаются в точке C, $AB > BC$, $CD = DE$ (рис. 12.9). Докажите, что $\angle BAC$ меньше $\angle DEC$.

Рис. 12.9

Для доказательства утверждения последовательно рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDE$.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи дано, что длина стороны $AB$ больше длины стороны $BC$, то есть $AB > BC$. Согласно теореме о соотношении между сторонами и углами треугольника, против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике $ABC$ угол $\angle BCA$ лежит против стороны $AB$, а угол $\angle BAC$ лежит против стороны $BC$. Следовательно, из неравенства $AB > BC$ вытекает, что $\angle BCA > \angle BAC$.

2. Рассмотрим треугольник $CDE$. По условию задачи дано, что длины сторон $CD$ и $DE$ равны, то есть $CD = DE$. Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Значит, $\triangle CDE$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Угол $\angle DCE$ лежит против стороны $DE$, а угол $\angle DEC$ — против стороны $CD$. Следовательно, $\angle DCE = \angle DEC$.

3. Связь между треугольниками. Отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $C$. Углы $\angle BCA$ и $\angle DCE$ являются вертикальными. По свойству вертикальных углов, они равны между собой: $\angle BCA = \angle DCE$.

4. Итоговое доказательство. Объединим полученные выводы. Из пункта 1 мы получили неравенство: $\angle BCA > \angle BAC$. Из пункта 3 мы знаем, что $\angle BCA = \angle DCE$. Подставим это равенство в неравенство: $\angle DCE > \angle BAC$. Из пункта 2 мы знаем, что $\angle DCE = \angle DEC$. Подставим это равенство в полученное выше неравенство: $\angle DEC > \angle BAC$.

Это неравенство эквивалентно тому, что $\angle BAC < \angle DEC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Используя теорему о соотношении сторон и углов в треугольнике, свойство равнобедренного треугольника и свойство вертикальных углов, мы показали, что из условий $AB > BC$ и $CD = DE$ следует, что $\angle BAC < \angle DEC$.