Номер 12.19, страница 71 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.19. Отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $C$, $CD = DE$, угол $BAC$ меньше угла $DEC$ (рис. 12.14). Докажите, что $AB > BC$.

Рис. 12.14

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDE$. Согласно условию, отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $C$. Это означает, что углы $\angle ACB$ и $\angle DCE$ являются вертикальными, а следовательно, они равны: $\angle ACB = \angle DCE$.

Рассмотрим $\triangle CDE$. По условию, его стороны $CD$ и $DE$ равны ($CD = DE$). Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, также равны. Стороне $DE$ противолежит угол $\angle DCE$, а стороне $CD$ противолежит угол $\angle DEC$. Таким образом, мы можем заключить, что $\angle DCE = \angle DEC$.

Из двух полученных равенств ($\angle ACB = \angle DCE$ и $\angle DCE = \angle DEC$) следует, что $\angle ACB = \angle DEC$.

В условии задачи также дано неравенство $\angle BAC < \angle DEC$. Используя установленное нами равенство, мы можем заменить в этом неравенстве угол $\angle DEC$ на равный ему угол $\angle ACB$. В результате получаем новое неравенство, связывающее углы в треугольнике $\triangle ABC$: $\angle BAC < \angle ACB$.

В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. В треугольнике $\triangle ABC$ сторона $BC$ находится напротив угла $\angle BAC$, а сторона $AB$ — напротив угла $\angle ACB$. Так как $\angle BAC < \angle ACB$, то и сторона, лежащая против меньшего угла, будет короче: $BC < AB$. Это неравенство эквивалентно тому, что $AB > BC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.