Номер 12.20, страница 72 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

12.20. В треугольнике $ABC$ выполняется неравенство $AC > BC$, $CD$ — медиана (рис. 12.15). Докажите, что угол $BCD$ больше угла $ACD$.

Дано:

В треугольнике $\triangle ABC$ проведена медиана $CD$, так что $AD = DB$.

Выполняется неравенство $AC > BC$.

Доказать:

$\angle BCD > \angle ACD$.

Доказательство:

Для доказательства используем метод дополнительного построения. Продолжим медиану $CD$ за точку $D$ на ее длину до точки $E$ таким образом, что $CD = DE$. Соединим точку $E$ с точкой $B$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $ACBE$. Его диагонали $AB$ и $CE$ пересекаются в точке $D$. По условию, $CD$ — медиана, следовательно, $AD = DB$. По построению, $CD = DE$. Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Таким образом, $ACBE$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны и параллельны. Отсюда имеем: $BE = AC$ и $AC \parallel BE$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCE$. Его стороны — $BC$, $BE$ и $CE$. По условию задачи дано, что $AC > BC$. Поскольку мы установили, что $BE = AC$, мы можем утверждать, что в $\triangle BCE$ сторона $BE$ длиннее стороны $BC$, то есть $BE > BC$.

В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Применим это свойство к $\triangle BCE$. Угол, лежащий напротив стороны $BE$, это $\angle BCE$. Угол, лежащий напротив стороны $BC$, это $\angle BEC$. Так как $BE > BC$, следует, что $\angle BCE > \angle BEC$.

Осталось связать углы $\angle BCE$ и $\angle BEC$ с искомыми углами $\angle BCD$ и $\angle ACD$.

Угол $\angle BCE$ образован отрезками $BC$ и $CE$. Так как точки $C, D, E$ лежат на одной прямой, луч $CD$ совпадает с лучом $CE$. Следовательно, $\angle BCE$ — это тот же угол, что и $\angle BCD$. То есть, $\angle BCE = \angle BCD$.

Углы $\angle ACD$ и $\angle BEC$ являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $AC$ и $BE$ и секущей $CE$. Следовательно, эти углы равны: $\angle ACD = \angle BEC$.

Подставим полученные равенства углов в неравенство $\angle BCE > \angle BEC$. Заменив $\angle BCE$ на $\angle BCD$ и $\angle BEC$ на $\angle ACD$, получаем требуемое неравенство:

$\angle BCD > \angle ACD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что в треугольнике $ABC$ при условии $AC > BC$ угол, образованный медианой $CD$ и стороной $BC$ (угол $BCD$), больше угла, образованного той же медианой и стороной $AC$ (угол $ACD$).