Номер 13.4, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.4. Может ли прямоугольный треугольник быть: а) равнобедренным; б) равносторонним?

а) Да, прямоугольный треугольник может быть равнобедренным.
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Один из его углов по определению равен $90°$. Сумма двух других острых углов равна $180° - 90° = 90°$.
В равнобедренном треугольнике две стороны равны. В прямоугольном треугольнике гипотенуза (сторона, лежащая против прямого угла) всегда длиннее каждого из катетов. Следовательно, равными могут быть только катеты.
Если катеты равны, то и углы, лежащие против них, тоже равны. Пусть каждый из этих углов равен $\alpha$. Тогда их сумма составляет:
$\alpha + \alpha = 90°$
$2\alpha = 90°$
$\alpha = 45°$
Таким образом, существует прямоугольный равнобедренный треугольник, углы которого равны $90°$, $45°$ и $45°$. Его катеты равны, а гипотенуза, согласно теореме Пифагора, будет в $\sqrt{2}$ раз больше катета ($c = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$).



Ответ: Да, может.

б) Нет, прямоугольный треугольник не может быть равносторонним.
Это можно доказать двумя способами.

1. Через углы:
В равностороннем треугольнике все три угла равны. Так как сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$, каждый угол равностороннего треугольника равен $180° / 3 = 60°$.
В прямоугольном треугольнике один из углов по определению равен $90°$.
Поскольку у равностороннего треугольника все углы равны $60°$, у него не может быть угла в $90°$. Следовательно, треугольник не может быть одновременно и прямоугольным, и равносторонним.

2. Через стороны:
В прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной.
В равностороннем треугольнике все стороны равны.
Эти два свойства противоречат друг другу. Не может в треугольнике одна сторона быть длиннее других и одновременно все стороны быть равными.
Если предположить, что такой треугольник существует и длина его стороны равна a, то по теореме Пифагора для катетов a и гипотенузы a должно было бы выполняться равенство: $a^2 + a^2 = a^2$, что приводит к $2a^2 = a^2$. Это равенство верно только при $a=0$, но треугольника со сторонами нулевой длины не существует.

Ответ: Нет, не может.