Номер 13.11, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.11. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.

Для доказательства данного утверждения можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два наиболее распространенных способа.

Способ 1: Через равенство прямоугольных треугольников

Пусть в треугольнике $ΔABC$ проведены две высоты $BB_1$ к стороне $AC$ и $CC_1$ к стороне $AB$. Согласно условию, длины этих высот равны: $BB_1 = CC_1$. Необходимо доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, то есть что стороны $AB$ и $AC$ равны.

Доказательство:
1. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ΔABB_1$ (прямой угол $∠AB_1B$) и $ΔACC_1$ (прямой угол $∠AC_1C$).
2. В этих треугольниках есть общий острый угол $∠A$.
3. Катеты $BB_1$ и $CC_1$ равны по условию задачи ($BB_1 = CC_1$).
4. Следовательно, прямоугольные треугольники $ΔABB_1$ и $ΔACC_1$ равны по катету и противолежащему острому углу. (Этот признак также известен как признак равенства по стороне и двум углам, AAS, так как $∠A$ — общий, $∠AB_1B = ∠AC_1C = 90°$, а стороны $BB_1$ и $CC_1$ равны).
5. Из равенства треугольников ($ΔABB_1 ≅ ΔACC_1$) следует равенство их соответствующих сторон, в данном случае гипотенуз: $AB = AC$.
6. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным.
Что и требовалось доказать.

Способ 2: Через формулу площади треугольника

Доказательство:
1. Обозначим стороны треугольника $ΔABC$ как $AB=c$ и $AC=b$. Высоту, опущенную на сторону $AB$, назовем $h_c$, а высоту, опущенную на сторону $AC$, — $h_b$. По условию, $h_c = h_b$.
2. Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
3. Выразим площадь $ΔABC$ двумя способами, используя данные высоты:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$
$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$
4. Так как площадь треугольника — величина постоянная, мы можем приравнять эти два выражения:
$\frac{1}{2} c \cdot h_c = \frac{1}{2} b \cdot h_b$
5. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$c \cdot h_c = b \cdot h_b$
6. Используем условие задачи, что высоты равны ($h_c = h_b$), и подставим его в наше уравнение:
$c \cdot h_b = b \cdot h_b$
7. Поскольку высота в невырожденном треугольнике — это положительная длина ($h_b > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $h_b$:
$c = b$
8. Равенство $c = b$ означает, что стороны $AB$ и $AC$ треугольника равны.
9. Следовательно, треугольник $ΔABC$ является равнобедренным.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если две высоты треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным.