Номер 13.16, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 13. Прямоугольные треугольники. Глава 2. Треугольники - номер 13.16, страница 76.

Условие.

13.16. Теорема Фалеса о равенстве двух треугольников, имеющих равные стороны и два прилежащих к нему угла.

Решение.

Решение 2.

Теорема, упомянутая в задании, известна как второй признак равенства треугольников. Иногда её связывают с именем древнегреческого математика Фалеса Милетского.

Формулировка теоремы:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Для доказательства теоремы рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, и представим их наглядно.

Дано:
Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, в которых:
1. Сторона $AC$ равна стороне $A'C'$ ($AC = A'C'$).
2. Угол $\angle A$ равен углу $\angle A'$ ($\angle A = \angle A'$).
3. Угол $\angle C$ равен углу $\angle C'$ ($\angle C = \angle C'$).

Доказать:
Треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A'B'C'$ ($\triangle ABC = \triangle A'B'C'$).

Доказательство:
Для доказательства равенства треугольников используем метод наложения.

1. Наложим треугольник $\triangle A'B'C'$ на треугольник $\triangle ABC$ таким образом, чтобы сторона $A'C'$ совпала с равной ей стороной $AC$. При этом вершина $A'$ совместится с вершиной $A$, а вершина $C'$ — с вершиной $C$. Это возможно, так как по условию $AC = A'C'$.

2. Поскольку по условию угол $\angle A$ равен углу $\angle A'$, то при наложении сторона $A'B'$ пойдёт по лучу, на котором лежит сторона $AB$.

3. Аналогично, поскольку угол $\angle C$ равен углу $\angle C'$, сторона $C'B'$ пойдёт по лучу, на котором лежит сторона $CB$.

4. В результате наложения получается, что вершина $B'$ треугольника $\triangle A'B'C'$ должна одновременно лежать на луче $AB$ и на луче $CB$. Две прямые (или луча) могут пересекаться только в одной точке. Точкой пересечения лучей $AB$ и $CB$ является вершина $B$. Следовательно, вершина $B'$ должна совпасть с вершиной $B$.

5. Мы показали, что при наложении все три вершины одного треугольника совпадают с соответствующими тремя вершинами другого треугольника ($A$ с $A'$, $C$ с $C'$ и $B$ с $B'$). Это означает, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ полностью совмещаются.

Таким образом, треугольники равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема, известная как второй признак равенства треугольников (или теорема Фалеса в данной формулировке), утверждает, что два треугольника равны, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого. Доказывается эта теорема методом наложения, при котором совмещение равных сторон и углов приводит к полному совпадению треугольников, а значит, и к их равенству.