Номер 14.3, страница 81 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.3. Может ли медиана треугольника быть больше высоты, проведенной из той же вершины треугольника?

Да, медиана треугольника может быть больше высоты, проведенной из той же вершины. Для доказательства рассмотрим произвольный треугольник $ABC$ и проведем из вершины $B$ медиану $BM$ к стороне $AC$ и высоту $BH$ к той же стороне $AC$.

По определению, высота $BH$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$. Следовательно, угол $\angle BHC$ является прямым, то есть $\angle BHC = 90^\circ$.

Медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с точкой $M$, которая является серединой стороны $AC$.

Теперь рассмотрим треугольник $BHM$. Так как $BH$ перпендикулярна прямой $AC$, на которой лежат точки $H$ и $M$, то угол $\angle BHM$ также является прямым. Это означает, что треугольник $BHM$ — прямоугольный, где $BH$ и $HM$ являются катетами, а $BM$ — гипотенузой.

В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза является самой длинной стороной, то есть она больше или равна любому из катетов. Следовательно, $BM \ge BH$.

Знак равенства, $BM = BH$, возможен только в том случае, когда длина второго катета $HM$ равна нулю. Это означает, что точки $H$ (основание высоты) и $M$ (середина стороны) совпадают. Такое происходит, если треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$ (т.е. $AB=BC$), и высота, проведенная из вершины $B$, также является медианой.

В любом другом случае (например, в разностороннем треугольнике), точки $H$ и $M$ не совпадают, и длина отрезка $HM$ будет положительной ($HM > 0$). По теореме Пифагора для треугольника $BHM$ имеем: $BM^2 = BH^2 + HM^2$. Так как $HM^2 > 0$, то $BM^2 > BH^2$, и, следовательно, $BM > BH$.

Таким образом, медиана треугольника может быть больше высоты, проведенной из той же вершины.

Ответ: Да, может.