Номер 14.2, страница 81 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

14.2. Сколько наклонных заданной длины можно провести из данной точки к данной прямой?

Количество наклонных заданной длины, которые можно провести из данной точки к данной прямой, зависит от соотношения между этой длиной и расстоянием от точки до прямой.

Пусть `A` — данная точка, `l` — данная прямая, `d` — заданная длина наклонной.

Случай 1: Точка `A` не лежит на прямой `l`.

Опустим из точки `A` на прямую `l` перпендикуляр `АН`. Длина этого перпендикуляра `h = AH` является расстоянием от точки `А` до прямой `l`. Любая наклонная `AB`, проведенная из точки `А` к прямой `l`, образует с перпендикуляром `АН` и своей проекцией `НВ` прямоугольный треугольник `AHB`, где `AB` — гипотенуза, а `AH` и `HB` — катеты.

По теореме Пифагора, $d^2 = h^2 + p^2$, где `p` — длина проекции `HB`. Отсюда $p^2 = d^2 - h^2$. Проанализируем возможные варианты:

а) Если заданная длина меньше расстояния до прямой ($d < h$).
В этом случае $d^2 < h^2$, и выражение $d^2 - h^2$ будет отрицательным. Длина проекции `p` не может быть найдена, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Это означает, что провести наклонную короче перпендикуляра невозможно. Таким образом, количество таких наклонных равно нулю.

б) Если заданная длина равна расстоянию до прямой ($d = h$).
В этом случае $p^2 = h^2 - h^2 = 0$, следовательно, $p = 0$. Это означает, что основание наклонной совпадает с основанием перпендикуляра. То есть, искомый отрезок — это сам перпендикуляр. По определению, наклонная — это отрезок, не являющийся перпендикуляром. Следовательно, количество наклонных равно нулю.

в) Если заданная длина больше расстояния до прямой ($d > h$).
В этом случае $d^2 > h^2$, и выражение $d^2 - h^2$ будет положительным. Длина проекции $p = \sqrt{d^2 - h^2}$ является определенным положительным числом. На прямой `l` существуют ровно две точки (`B₁` и `B₂`), расположенные на расстоянии `p` от основания перпендикуляра `H` (по обе стороны от него). Следовательно, из точки `А` можно провести ровно две наклонные (`AB₁` и `AB₂`) заданной длины `d`.

Случай 2: Точка `A` лежит на прямой `l`.

В этом случае расстояние от точки до прямой равно нулю ($h = 0$). Понятия перпендикуляра и наклонной в классическом смысле теряют значение. Однако, если рассматривать отрезки заданной длины `d`, исходящие из точки `А` и заканчивающиеся на прямой `l`, то таких отрезков будет два. Они будут лежать на самой прямой `l`, по обе стороны от точки `А`.

Ответ: Ответ зависит от соотношения заданной длины наклонной `d` и расстояния `h` от точки до прямой. Если точка не лежит на прямой:
• две наклонные, если заданная длина больше расстояния от точки до прямой ($d > h$);
• ни одной наклонной, если заданная длина меньше или равна расстоянию от точки до прямой ($d \le h$).