Задания, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно объясните, почему через точку, принадлежащую прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.

Для доказательства этого утверждения, которое является теоремой в евклидовой геометрии, можно использовать метод от противного. Он состоит из двух частей: доказательство существования и доказательство единственности.

1. Существование.

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, принадлежащая этой прямой. Прямая $a$ разделяет плоскость на две полуплоскости. В одной из этих полуплоскостей от луча, который является частью прямой $a$ с началом в точке $M$, можно отложить угол, равный $90^\circ$. Это утверждение является одной из основных аксиом геометрии (аксиома откладывания углов). Луч, который образует вторую сторону этого угла, лежит на некоторой прямой $b$. По определению, прямая $b$ перпендикулярна прямой $a$, так как угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, существование хотя бы одной такой прямой доказано.

2. Единственность.

Теперь докажем, что такая прямая может быть только одна. Предположим обратное: пусть через точку $M$ проходят две различные прямые, $b$ и $c$, и обе они перпендикулярны прямой $a$.

Это означает, что и прямая $b$, и прямая $c$ образуют с прямой $a$ углы по $90^\circ$. Рассмотрим лучи прямых $b$ и $c$, исходящие из точки $M$ и лежащие в одной и той же полуплоскости относительно прямой $a$.

Тогда получается, что от одного и того же луча прямой $a$ (с началом в точке $M$) в одну и ту же полуплоскость отложены два разных угла, и мера каждого из них равна $90^\circ$.

Однако, согласно аксиоме откладывания углов, от любого луча в заданную полуплоскость можно отложить только один угол заданной величины. Следовательно, лучи прямых $b$ и $c$ должны совпадать. А если совпадают их лучи, исходящие из общей точки $M$, то и сами прямые $b$ и $c$ должны совпадать.

Мы пришли к противоречию с нашим первоначальным предположением о том, что прямые $b$ и $c$ различны. Значит, наше предположение было неверным.

Таким образом, через точку, принадлежащую прямой, можно провести перпендикулярную ей прямую, и притом только одну.

Ответ: Существование перпендикуляра следует из аксиомы откладывания углов (можно построить угол в $90^\circ$). Единственность доказывается от противного: если предположить, что существуют две разные прямые, перпендикулярные данной и проходящие через одну и ту же точку на ней, то это будет противоречить той же аксиоме откладывания углов, так как от луча в полуплоскость можно отложить лишь один угол заданной величины. Следовательно, такая прямая единственна.