Номер 13.13, страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

ника, то такие треугольники равны.

13.13. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие высоты.

Дано:

Рассмотрим два равных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Из равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ следует равенство их соответствующих сторон и углов:

$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$

$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$

Проведем в этих треугольниках соответствующие высоты. Пусть $BH$ — высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$ в $\triangle ABC$, а $B_1H_1$ — высота, проведенная из вершины $B_1$ к стороне $A_1C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$.

По определению высоты, $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$.

Доказать:

Нужно доказать, что соответствующие высоты равны, то есть $BH = B_1H_1$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$.

Поскольку $BH$ и $B_1H_1$ являются высотами, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ — прямоугольные, так как $\angle BHA = 90^\circ$ и $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

1. Гипотенуза $AB$ треугольника $\triangle ABH$ равна гипотенузе $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1H_1$ ($AB = A_1B_1$), так как это соответствующие стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

2. Острый угол $\angle A$ треугольника $\triangle ABH$ равен острому углу $\angle A_1$ треугольника $\triangle A_1B_1H_1$ ($\angle A = \angle A_1$), так как это соответствующие углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $\triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1$ следует равенство их соответствующих катетов. Катет $BH$ соответствует катету $B_1H_1$.

Следовательно, $BH = B_1H_1$.

Утверждение доказано. Соответствующие высоты в равных треугольниках равны.

Ответ: Утверждение доказано.