Страница 76 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

13.7. Стороны прямоугольного треугольника равны 3 см, 4 см, 5 см. Чему равна гипотенуза?

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является стороной, которая лежит напротив прямого угла. Важное свойство гипотенузы заключается в том, что она всегда является самой длинной стороной прямоугольного треугольника.

В условии задачи даны длины трех сторон: 3 см, 4 см и 5 см. Чтобы определить, какая из них является гипотенузой, достаточно найти самую длинную сторону, сравнив их длины.

Сравниваем числа: $5 > 4$ и $5 > 3$.

Наибольшая длина составляет 5 см, следовательно, это и есть гипотенуза.

Также можно проверить это утверждение с помощью теоремы Пифагора. Теорема гласит, что квадрат длины гипотенузы ($c$) равен сумме квадратов длин катетов ($a$ и $b$):

$c^2 = a^2 + b^2$

Подставим в формулу длины катетов, которые являются двумя меньшими сторонами (3 см и 4 см), и проверим, получится ли длина третьей стороны (5 см).

$c^2 = 3^2 + 4^2$

$c^2 = 9 + 16$

$c^2 = 25$

$c = \sqrt{25} = 5$ см

Расчет подтверждает, что гипотенуза данного прямоугольного треугольника равна 5 см.

Ответ: 5 см.

13.8. Докажите, что в прямоугольном треугольнике имеется два острых угла.

Доказательство основано на теореме о сумме углов треугольника.

1. Рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник. По определению, один из его углов является прямым, то есть его величина равна $90^\circ$. Обозначим этот угол как $\angle C$.

2. Пусть два других угла этого треугольника будут $\angle A$ и $\angle B$.

3. Согласно теореме о сумме углов треугольника, сумма всех трех углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для нашего случая:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

4. Подставим в это уравнение известное значение прямого угла $\angle C = 90^\circ$:

$\angle A + \angle B + 90^\circ = 180^\circ$

5. Найдем сумму двух оставшихся углов:

$\angle A + \angle B = 180^\circ - 90^\circ$

$\angle A + \angle B = 90^\circ$

6. Углы в треугольнике всегда имеют положительную величину, то есть $\angle A > 0^\circ$ и $\angle B > 0^\circ$.

7. Из равенства $\angle A + \angle B = 90^\circ$ и того факта, что оба угла положительны, следует:

- Поскольку $\angle B > 0^\circ$, то $\angle A = 90^\circ - \angle B$, из чего следует, что $\angle A < 90^\circ$.

- Поскольку $\angle A > 0^\circ$, то $\angle B = 90^\circ - \angle A$, из чего следует, что $\angle B < 90^\circ$.

8. Угол, который больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$, по определению является острым углом.

Таким образом, мы доказали, что два угла ($\angle A$ и $\angle B$) в прямоугольном треугольнике всегда являются острыми. Что и требовалось доказать.

Ответ: В любом прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Сумма двух других углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Так как величина каждого из этих углов больше нуля, то каждый из них должен быть меньше $90^\circ$, что по определению означает, что они являются острыми.

13.9. Докажите, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше его катетов.

Для доказательства того, что гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого из его катетов, можно использовать два различных метода. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Сторона $AB$ (обозначим ее длину как $c$) является гипотенузой, а стороны $AC$ (длина $b$) и $BC$ (длина $a$) — катетами. Требуется доказать, что $c > a$ и $c > b$.

Способ 1: Использование свойства о соотношении сторон и углов треугольника

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В нашем прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Следовательно, сумма двух других углов составляет $\angle A + \angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Поскольку углы $A$ и $B$ являются углами треугольника с положительными длинами сторон, их градусные меры также должны быть положительными. Это означает, что каждый из этих углов является острым, то есть $\angle A < 90^\circ$ и $\angle B < 90^\circ$.

Из этого следует, что прямой угол $\angle C$ является наибольшим углом в треугольнике. Согласно теореме о соотношении между сторонами и углами треугольника, напротив большего угла лежит большая сторона.
1. Сравнивая углы $\angle C$ и $\angle A$, получаем $\angle C > \angle A$. Следовательно, сторона, лежащая напротив угла $C$ (гипотенуза $c$), больше стороны, лежащей напротив угла $A$ (катет $a$). Таким образом, $c > a$.
2. Сравнивая углы $\angle C$ и $\angle B$, получаем $\angle C > \angle B$. Следовательно, сторона, лежащая напротив угла $C$ (гипотенуza $c$), больше стороны, лежащей напротив угла $B$ (катет $b$). Таким образом, $c > b$.
Мы доказали, что гипотенуза больше каждого из катетов.

Ответ: Гипотенуза прямоугольного треугольника больше каждого из его катетов, поскольку она лежит напротив наибольшего угла в этом треугольнике (прямого угла, равного $90^\circ$), в то время как катеты лежат напротив острых углов, которые всегда меньше $90^\circ$.

Способ 2: Использование теоремы Пифагора

Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ справедливо равенство: $c^2 = a^2 + b^2$.

Длины сторон любого треугольника являются положительными величинами, поэтому $a > 0$ и $b > 0$. Из этого следует, что их квадраты также строго положительны: $a^2 > 0$ и $b^2 > 0$.

Рассмотрим равенство $c^2 = a^2 + b^2$.
1. Так как $b^2$ является положительным числом, то сумма $a^2 + b^2$ будет строго больше, чем $a^2$. То есть, $c^2 > a^2$. Поскольку длины сторон $c$ и $a$ положительны, извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем $c > a$.
2. Аналогично, так как $a^2$ является положительным числом, то сумма $a^2 + b^2$ будет строго больше, чем $b^2$. То есть, $c^2 > b^2$. Поскольку длины сторон $c$ и $b$ положительны, извлекая квадратный корень, получаем $c > b$.
Таким образом, мы доказали, что гипотенуза $c$ больше каждого из катетов $a$ и $b$.

Ответ: По теореме Пифагора ($c^2 = a^2 + b^2$), квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Так как квадрат длины любого катета — это положительное число, квадрат гипотенузы всегда будет больше квадрата любого из катетов. Следовательно, и сама гипотенуза больше любого из катетов.

13.10. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC = BC$) $CD$ – высота. Докажите, что треугольники $ACD$ и $BCD$ равны.

Для доказательства того, что треугольники $ACD$ и $BCD$ равны, рассмотрим эти два треугольника, на которые высота $CD$ делит равнобедренный треугольник $ABC$.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AC = BC$.

Отрезок $CD$ является высотой, проведенной к основанию $AB$. По определению высоты, она перпендикулярна стороне, к которой проведена. Следовательно, $CD \perp AB$. Это означает, что углы $\angle CDA$ и $\angle CDB$ являются прямыми, то есть их градусная мера составляет $90^\circ$. Таким образом, треугольники $ACD$ и $BCD$ — прямоугольные.

Сравним элементы прямоугольных треугольников $ACD$ и $BCD$:

1. Гипотенуза $AC$ треугольника $ACD$ равна гипотенузе $BC$ треугольника $BCD$ по условию ($AC=BC$).

2. Катет $CD$ является общим для обоих треугольников.

Поскольку прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого (признак равенства по гипотенузе и катету), то мы можем заключить, что $\triangle ACD = \triangle BCD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольники $ACD$ и $BCD$ являются прямоугольными, так как $CD$ — высота. Они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету: у них общий катет $CD$ и равные гипотенузы $AC$ и $BC$ (так как $\triangle ABC$ — равнобедренный).

13.11. Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник равнобедренный.

Для доказательства данного утверждения можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два наиболее распространенных способа.

Способ 1: Через равенство прямоугольных треугольников

Пусть в треугольнике $ΔABC$ проведены две высоты $BB_1$ к стороне $AC$ и $CC_1$ к стороне $AB$. Согласно условию, длины этих высот равны: $BB_1 = CC_1$. Необходимо доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, то есть что стороны $AB$ и $AC$ равны.

Доказательство:
1. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ΔABB_1$ (прямой угол $∠AB_1B$) и $ΔACC_1$ (прямой угол $∠AC_1C$).
2. В этих треугольниках есть общий острый угол $∠A$.
3. Катеты $BB_1$ и $CC_1$ равны по условию задачи ($BB_1 = CC_1$).
4. Следовательно, прямоугольные треугольники $ΔABB_1$ и $ΔACC_1$ равны по катету и противолежащему острому углу. (Этот признак также известен как признак равенства по стороне и двум углам, AAS, так как $∠A$ — общий, $∠AB_1B = ∠AC_1C = 90°$, а стороны $BB_1$ и $CC_1$ равны).
5. Из равенства треугольников ($ΔABB_1 ≅ ΔACC_1$) следует равенство их соответствующих сторон, в данном случае гипотенуз: $AB = AC$.
6. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным.
Что и требовалось доказать.

Способ 2: Через формулу площади треугольника

Доказательство:
1. Обозначим стороны треугольника $ΔABC$ как $AB=c$ и $AC=b$. Высоту, опущенную на сторону $AB$, назовем $h_c$, а высоту, опущенную на сторону $AC$, — $h_b$. По условию, $h_c = h_b$.
2. Площадь треугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
3. Выразим площадь $ΔABC$ двумя способами, используя данные высоты:
$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$
$S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$
4. Так как площадь треугольника — величина постоянная, мы можем приравнять эти два выражения:
$\frac{1}{2} c \cdot h_c = \frac{1}{2} b \cdot h_b$
5. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:
$c \cdot h_c = b \cdot h_b$
6. Используем условие задачи, что высоты равны ($h_c = h_b$), и подставим его в наше уравнение:
$c \cdot h_b = b \cdot h_b$
7. Поскольку высота в невырожденном треугольнике — это положительная длина ($h_b > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $h_b$:
$c = b$
8. Равенство $c = b$ означает, что стороны $AB$ и $AC$ треугольника равны.
9. Следовательно, треугольник $ΔABC$ является равнобедренным.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если две высоты треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным.

13.12. Используя метод доказательства "от противного", докажите, что если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Дано:

$\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ — два прямоугольных треугольника.
$\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$.
$BC = B_1C_1$ (катет одного треугольника равен катету другого).
$\angle A = \angle A_1$ (острый угол, противолежащий катету $BC$, равен острому углу, противолежащему катету $B_1C_1$).

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

Воспользуемся методом доказательства «от противного». Предположим, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ не равны, то есть $\triangle ABC \neq \triangle A_1B_1C_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$. По определению тангенса острого угла в прямоугольном треугольнике, отношение противолежащего катета к прилежащему катету равно тангенсу этого угла:
$\tan(\angle A) = \frac{BC}{AC}$
Из этого соотношения мы можем выразить длину катета $AC$:
$AC = \frac{BC}{\tan(\angle A)}$

Аналогично, для прямоугольного треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ справедливо соотношение:
$\tan(\angle A_1) = \frac{B_1C_1}{A_1C_1}$
Соответственно, длина катета $A_1C_1$ равна:
$A_1C_1 = \frac{B_1C_1}{\tan(\angle A_1)}$

Согласно условию задачи, нам дано, что катеты $BC$ и $B_1C_1$ равны ($BC = B_1C_1$), и противолежащие им углы $A$ и $A_1$ равны ($\angle A = \angle A_1$). Так как углы равны, то равны и их тангенсы: $\tan(\angle A) = \tan(\angle A_1)$.

Теперь сравним выражения для длин катетов $AC$ и $A_1C_1$. Поскольку в правых частях формул равны числители ($BC = B_1C_1$) и равны знаменатели ($\tan(\angle A) = \tan(\angle A_1)$), то и сами дроби равны:
$AC = \frac{BC}{\tan(\angle A)} = \frac{B_1C_1}{\tan(\angle A_1)} = A_1C_1$
Таким образом, мы доказали, что катет $AC$ равен катету $A_1C_1$.

Теперь сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по известным нам элементам:
1. $BC = B_1C_1$ (по условию).
2. $AC = A_1C_1$ (как доказано выше).
3. $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ (по условию, это угол между катетами).

Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A_1B_1C_1$ по двум катетам (что является частным случаем первого признака равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними).

Полученный вывод, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, напрямую противоречит нашему первоначальному предположению о том, что $\triangle ABC \neq \triangle A_1B_1C_1$.Это противоречие означает, что наше предположение было неверным.

Таким образом, исходное утверждение верно: если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

ника, то такие треугольники равны.

13.13. Докажите, что в равных треугольниках равны соответствующие высоты.

Дано:

Рассмотрим два равных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Из равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ следует равенство их соответствующих сторон и углов:

$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$

$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$

Проведем в этих треугольниках соответствующие высоты. Пусть $BH$ — высота, проведенная из вершины $B$ к стороне $AC$ в $\triangle ABC$, а $B_1H_1$ — высота, проведенная из вершины $B_1$ к стороне $A_1C_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$.

По определению высоты, $BH \perp AC$ и $B_1H_1 \perp A_1C_1$.

Доказать:

Нужно доказать, что соответствующие высоты равны, то есть $BH = B_1H_1$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$.

Поскольку $BH$ и $B_1H_1$ являются высотами, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ — прямоугольные, так как $\angle BHA = 90^\circ$ и $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.

Сравним эти два прямоугольных треугольника:

1. Гипотенуза $AB$ треугольника $\triangle ABH$ равна гипотенузе $A_1B_1$ треугольника $\triangle A_1B_1H_1$ ($AB = A_1B_1$), так как это соответствующие стороны равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

2. Острый угол $\angle A$ треугольника $\triangle ABH$ равен острому углу $\angle A_1$ треугольника $\triangle A_1B_1H_1$ ($\angle A = \angle A_1$), так как это соответствующие углы равных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ равны по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников $\triangle ABH = \triangle A_1B_1H_1$ следует равенство их соответствующих катетов. Катет $BH$ соответствует катету $B_1H_1$.

Следовательно, $BH = B_1H_1$.

Утверждение доказано. Соответствующие высоты в равных треугольниках равны.

Ответ: Утверждение доказано.

13.14. Укажите способ нахождения расстояния от берега (речь идет о конкретной точке на берегу) до корабля, находящегося недалеко в море (рис. 13.8, а). Используйте рисунок 13.8, б.

а)

б)

Рис. 13.8

Для нахождения расстояния от точки на берегу до корабля в море можно применить практический метод, основанный на свойствах равных треугольников. Все необходимые измерения при этом производятся на суше. На рисунке ниже представлена геометрическая схема этого метода.

Суть метода заключается в построении на берегу треугольника $\triangle CDE$, равного воображаемому треугольнику $\triangle ABE$, где точка A — корабль, а B — точка на берегу, от которой измеряется расстояние. Искомое расстояние — это длина отрезка AB.

Порядок действий следующий:
1. В точке B на берегу необходимо определить направление на корабль A и построить к этому направлению перпендикуляр — прямую линию, идущую вдоль берега.
2. Двигаясь по этой перпендикулярной линии, нужно отойти на произвольное, но известное расстояние до точки D.
3. Отрезок BD делится пополам, и в его середине отмечается точка E. Таким образом, выполняется условие $BE = ED$.
4. Из точки D начинают движение вглубь суши по прямой, перпендикулярной отрезку BD. Двигаться нужно до тех пор, пока не будет найдена точка C, из которой метка E и корабль A будут видны на одной прямой.

Математическое обоснование корректности этого метода состоит в доказательстве равенства треугольников $\triangle ABE$ и $\triangle CDE$. В этих треугольниках:
• $\angle ABE = \angle CDE = 90^\circ$ (по построению).
• $BE = DE$ (так как E — середина BD).
• $\angle AEB = \angle CED$ (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники $\triangle ABE$ и $\triangle CDE$ равны по стороне и двум углам ($BE=DE$, $\angle B = \angle D$ и $\angle AEB = \angle CED$). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CD$.

Таким образом, измерив на суше расстояние $CD$, мы получаем точное расстояние до корабля.

Ответ: Для нахождения расстояния $AB$ (от точки B на берегу до корабля A), необходимо выполнить построения на суше. Сначала от точки B откладывается перпендикулярный к $AB$ отрезок $BD$. Затем находится его середина $E$. После этого строится перпендикуляр к $BD$ в точке $D$, и на нем находится точка $C$ так, чтобы точки $A$, $E$ и $C$ лежали на одной прямой. Длина отрезка $CD$, которую можно измерить на земле, и будет равна искомому расстоянию $AB$.

Подготовьте сообщение

13.15. Прямоугольные треугольники, содержащиеся в папирусе Ахмеса.

Прямоугольные треугольники, содержащиеся в папирусе Ахмеса.

Папирус Ахмеса, также известный как папирус Ринда, — это древнеегипетский математический текст, датируемый примерно 1550 годом до н.э. Он является одним из важнейших источников наших знаний о математике Древнего Египта. В папирусе прямоугольные треугольники рассматриваются не как абстрактные геометрические фигуры, а как практический инструмент для решения конкретных задач, в основном связанных со строительством пирамид.

Ключевым понятием, связанным с прямоугольными треугольниками в папирусе, является секед. Секед — это мера наклона боковой грани пирамиды. Для его вычисления использовался воображаемый прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды ($h$), половиной длины ее основания ($b/2$) и апофемой (высотой боковой грани). Секед определялся как горизонтальное смещение (run), соответствующее вертикальному подъему (rise) в один царский локоть. Он измерялся в «ладонях» (или «пальмах») на локоть высоты.

Соотношение между единицами измерения было следующим: 1 царский локоть = 7 ладоней. Таким образом, секед, по сути, является котангенсом угла наклона боковой грани ($α$), умноженным на 7. Формула для расчета секеда выглядит так:
$секед = \frac{b/2}{h} \times 7$ (ладоней на локоть)

В папирусе Ахмеса задачи с 56 по 60 посвящены вычислению секеда, высоты или основания пирамиды. Рассмотрим в качестве примера решение Задачи 57.

Задача 57: У пирамиды секед равен 5 ладоням и 1 пальцу, а длина стороны основания — 140 локтей. Какова ее высота?
Решение:
1. Сначала переведем секед в единую меру — ладони. В одной ладони 4 пальца, поэтому 1 палец = $1/4$ ладони.$секед = 5 \frac{1}{4}$ ладони.
2. Теперь найдем, какому отношению в локтях соответствует данный секед. Для этого разделим значение секеда на 7 (количество ладоней в локте):$\frac{секед}{7} = \frac{5 \frac{1}{4}}{7} = \frac{21/4}{7} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$.
Это число представляет собой отношение половины основания к высоте: $\frac{b/2}{h} = \frac{3}{4}$.
3. Нам известна сторона основания $b=140$ локтей, значит, половина основания $b/2 = 140 / 2 = 70$ локтей.
4. Подставим известное значение в пропорцию и найдем высоту $h$:$\frac{70}{h} = \frac{3}{4}$
$h = \frac{70 \times 4}{3} = \frac{280}{3} = 93 \frac{1}{3}$ локтя.
Таким образом, высота пирамиды составляет $93 \frac{1}{3}$ локтя.

Важно отметить, что в папирусе Ахмеса нет прямых свидетельств знания теоремы Пифагора в ее классическом виде ($a^2 + b^2 = c^2$). Египтяне не вычисляли длину гипотенузы (апофемы), а концентрировались на соотношении между катетами (высотой и половиной основания). Тем не менее, практическое использование пифагоровых троек, таких как знаменитый треугольник со сторонами (3, 4, 5), для построения прямых углов, вероятно, было известно строителям и землемерам ("гарпедонаптам"), хотя этот факт не задокументирован в данном папирусе.

Ответ: В папирусе Ахмеса прямоугольные треугольники используются как практический инструмент для решения задач, связанных со строительством пирамид. Они не являются объектом абстрактного изучения. Основное применение — вычисление наклона граней пирамид через понятие «секед», которое представляет собой раннюю форму тригонометрической функции (котангенса) и основано на пропорциональном соотношении катетов (высоты и половины основания) в прямоугольном треугольнике, образующем сечение пирамиды. Задачи из папируса демонстрируют высокий уровень владения египтянами методами пропорций и отношений для решения геометрических задач.

13.16. Теорема Фалеса о равенстве двух треугольников, имеющих равные стороны и два прилежащих к нему угла.

Теорема, упомянутая в задании, известна как второй признак равенства треугольников. Иногда её связывают с именем древнегреческого математика Фалеса Милетского.

Формулировка теоремы:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Для доказательства теоремы рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, и представим их наглядно.

Дано:
Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, в которых:
1. Сторона $AC$ равна стороне $A'C'$ ($AC = A'C'$).
2. Угол $\angle A$ равен углу $\angle A'$ ($\angle A = \angle A'$).
3. Угол $\angle C$ равен углу $\angle C'$ ($\angle C = \angle C'$).

Доказать:
Треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle A'B'C'$ ($\triangle ABC = \triangle A'B'C'$).

Доказательство:
Для доказательства равенства треугольников используем метод наложения.

1. Наложим треугольник $\triangle A'B'C'$ на треугольник $\triangle ABC$ таким образом, чтобы сторона $A'C'$ совпала с равной ей стороной $AC$. При этом вершина $A'$ совместится с вершиной $A$, а вершина $C'$ — с вершиной $C$. Это возможно, так как по условию $AC = A'C'$.

2. Поскольку по условию угол $\angle A$ равен углу $\angle A'$, то при наложении сторона $A'B'$ пойдёт по лучу, на котором лежит сторона $AB$.

3. Аналогично, поскольку угол $\angle C$ равен углу $\angle C'$, сторона $C'B'$ пойдёт по лучу, на котором лежит сторона $CB$.

4. В результате наложения получается, что вершина $B'$ треугольника $\triangle A'B'C'$ должна одновременно лежать на луче $AB$ и на луче $CB$. Две прямые (или луча) могут пересекаться только в одной точке. Точкой пересечения лучей $AB$ и $CB$ является вершина $B$. Следовательно, вершина $B'$ должна совпасть с вершиной $B$.

5. Мы показали, что при наложении все три вершины одного треугольника совпадают с соответствующими тремя вершинами другого треугольника ($A$ с $A'$, $C$ с $C'$ и $B$ с $B'$). Это означает, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ полностью совмещаются.

Таким образом, треугольники равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Теорема, известная как второй признак равенства треугольников (или теорема Фалеса в данной формулировке), утверждает, что два треугольника равны, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого. Доказывается эта теорема методом наложения, при котором совмещение равных сторон и углов приводит к полному совпадению треугольников, а значит, и к их равенству.