Страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно объясните, почему через точку, принадлежащую прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.

Для доказательства этого утверждения, которое является теоремой в евклидовой геометрии, можно использовать метод от противного. Он состоит из двух частей: доказательство существования и доказательство единственности.

1. Существование.

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, принадлежащая этой прямой. Прямая $a$ разделяет плоскость на две полуплоскости. В одной из этих полуплоскостей от луча, который является частью прямой $a$ с началом в точке $M$, можно отложить угол, равный $90^\circ$. Это утверждение является одной из основных аксиом геометрии (аксиома откладывания углов). Луч, который образует вторую сторону этого угла, лежит на некоторой прямой $b$. По определению, прямая $b$ перпендикулярна прямой $a$, так как угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, существование хотя бы одной такой прямой доказано.

2. Единственность.

Теперь докажем, что такая прямая может быть только одна. Предположим обратное: пусть через точку $M$ проходят две различные прямые, $b$ и $c$, и обе они перпендикулярны прямой $a$.

Это означает, что и прямая $b$, и прямая $c$ образуют с прямой $a$ углы по $90^\circ$. Рассмотрим лучи прямых $b$ и $c$, исходящие из точки $M$ и лежащие в одной и той же полуплоскости относительно прямой $a$.

Тогда получается, что от одного и того же луча прямой $a$ (с началом в точке $M$) в одну и ту же полуплоскость отложены два разных угла, и мера каждого из них равна $90^\circ$.

Однако, согласно аксиоме откладывания углов, от любого луча в заданную полуплоскость можно отложить только один угол заданной величины. Следовательно, лучи прямых $b$ и $c$ должны совпадать. А если совпадают их лучи, исходящие из общей точки $M$, то и сами прямые $b$ и $c$ должны совпадать.

Мы пришли к противоречию с нашим первоначальным предположением о том, что прямые $b$ и $c$ различны. Значит, наше предположение было неверным.

Таким образом, через точку, принадлежащую прямой, можно провести перпендикулярную ей прямую, и притом только одну.

Ответ: Существование перпендикуляра следует из аксиомы откладывания углов (можно построить угол в $90^\circ$). Единственность доказывается от противного: если предположить, что существуют две разные прямые, перпендикулярные данной и проходящие через одну и ту же точку на ней, то это будет противоречить той же аксиоме откладывания углов, так как от луча в полуплоскость можно отложить лишь один угол заданной величины. Следовательно, такая прямая единственна.

1. Что называется перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную прямую? Что называется основанием перпендикуляра?

2. Что называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой? Что называется: а) основанием наклонной; б) проекцией наклонной?

3. Что называется расстоянием от точки до прямой?

4. Что больше, перпендикуляр или наклонная, проведенные из одной точки к данной прямой?

1. Что называется перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную прямую? Что называется основанием перпендикуляра?

Пусть дана точка $A$, не лежащая на прямой $a$.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки $A$ на данную прямую $a$, называется отрезок $AH$, соединяющий точку $A$ с точкой $H$ на прямой $a$, при этом прямая, содержащая отрезок $AH$, должна быть перпендикулярна прямой $a$ (записывается как $AH \perp a$).

Основанием перпендикуляра называется конец этого перпендикуляра, который лежит на данной прямой. На рисунке это точка $H$.

Ответ: Перпендикуляр из точки на прямую — это отрезок, соединяющий эту точку с точкой на прямой и лежащий на прямой, перпендикулярной данной. Основание перпендикуляра — это точка пересечения перпендикуляра и данной прямой.

2. Что называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой? Что называется: а) основанием наклонной; б) проекцией наклонной?

Наклонной, проведенной из данной точки $A$ к данной прямой $a$, называется любой отрезок (например, $AM$ на рисунке), который соединяет точку $A$ с точкой $M$ на прямой $a$ и не является перпендикуляром к этой прямой.

а) основанием наклонной называется конец наклонной, который лежит на данной прямой. Для наклонной $AM$ основанием является точка $M$.

б) проекцией наклонной на прямую называется отрезок, который соединяет основание перпендикуляра и основание наклонной, проведенных из одной и той же точки. Для наклонной $AM$ ее проекцией на прямую $a$ является отрезок $HM$.

Ответ: Наклонная — это любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой на прямой, не являющийся перпендикуляром. а) Основание наклонной — это ее конец, лежащий на прямой. б) Проекция наклонной — это отрезок между основанием перпендикуляра и основанием наклонной.

3. Что называется расстоянием от точки до прямой?

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. На рисунке выше расстояние от точки $A$ до прямой $a$ равно длине отрезка $AH$.

Ответ: Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.

4. Что больше, перпендикуляр или наклонная, проведенные из одной точки к данной прямой?

Рассмотрим перпендикуляр $AH$ и наклонную $AM$, которые проведены из одной точки $A$ к прямой $a$. Точки $A$, $H$ и $M$ образуют прямоугольный треугольник $\triangle AHM$, в котором угол $\angle AHM = 90^\circ$. В этом треугольнике перпендикуляр $AH$ является катетом, а наклонная $AM$ — гипотенузой.

Согласно свойству сторон прямоугольного треугольника, гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Следовательно, $AM > AH$. Это означает, что любая наклонная, проведенная из точки к прямой, всегда больше (длиннее) перпендикуляра, проведенного из той же точки к той же прямой.

Ответ: Наклонная всегда больше перпендикуляра.