Страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.16. Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано:

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, то есть $a \parallel b$.
Пусть некоторая прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $A$.

Доказать:

Прямая $c$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим обратное: прямая $c$ не пересекает прямую $b$. По определению, две прямые на плоскости, которые не пересекаются, являются параллельными. Следовательно, из нашего предположения вытекает, что прямая $c$ параллельна прямой $b$, то есть $c \parallel b$.

Теперь рассмотрим, что у нас получилось:

1. По условию задачи, прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).

2. Согласно нашему предположению, прямая $c$ также параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$).

Мы знаем, что прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $A$. Это означает, что точка $A$ принадлежит и прямой $a$, и прямой $c$. Поскольку $a \parallel b$, точка $A$ не может лежать на прямой $b$.

Таким образом, мы пришли к выводу, что через точку $A$, не лежащую на прямой $b$, проходят две различные прямые ($a$ и $c$), каждая из которых параллельна прямой $b$.

Это утверждение напрямую противоречит аксиоме о параллельных прямых (также известной как пятый постулат Евклида), которая гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Поскольку мы пришли к противоречию, наше исходное предположение о том, что прямая $c$ не пересекает прямую $b$, является ложным. Следовательно, верным является обратное утверждение.

Значит, прямая $c$ обязана пересекать прямую $b$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

15.17. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Дано:
Прямые $a, b, c$.
$a \parallel c$ (прямая $a$ параллельна прямой $c$)
$b \parallel c$ (прямая $b$ параллельна прямой $c$)
Доказать:
$a \parallel b$

Доказательство:

Для доказательства этого утверждения можно использовать два основных подхода.

Способ 1. Доказательство от противного.

Предположим, что прямые $a$ и $b$ не параллельны. Если две прямые на плоскости не параллельны, они должны пересекаться. Обозначим точку их пересечения буквой $M$.

Таким образом, получается, что через точку $M$ проходят две различные прямые ($a$ и $b$), каждая из которых, по условию задачи, параллельна третьей прямой $c$.

Это противоречит аксиоме параллельных прямых (также известной как пятый постулат Евклида), которая гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Поскольку наше предположение привело к противоречию с аксиомой, оно является неверным. Следовательно, прямые $a$ и $b$ не могут пересекаться, а это означает, что они параллельны: $a \parallel b$.

Способ 2. Доказательство с использованием секущей.

Проведём секущую $d$, которая пересекает прямые $a$, $b$ и $c$. При пересечении образуются различные углы. Рассмотрим соответственные углы $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$, как показано на рисунке.

1. Так как по условию $a \parallel c$, то по свойству параллельных прямых соответственные углы, образованные секущей $d$, равны: $\angle 1 = \angle 3$.

2. Так как по условию $b \parallel c$, то по тому же свойству соответственные углы также равны: $\angle 2 = \angle 3$.

3. Из равенств $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 3$ следует, что $\angle 1 = \angle 2$.

4. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются соответственными при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $d$. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

5. Таким образом, $a \parallel b$.

Ответ: Утверждение доказано. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Что и требовалось доказать.

15.18. На рисунке 15.10 стороны $a$ и $b$ одного угла соответственно параллельны сторонам $c$ и $d$ другого угла. Докажите, что эти углы равны.

Рис. 15.10

Пусть дан угол, образованный лучами $a$ и $b$, который обозначим как $\angle(a,b)$, и второй угол, образованный лучами $c$ и $d$, который обозначим как $\angle(c,d)$.

По условию задачи, стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла. Это означает, что $a \parallel c$ и $b \parallel d$.

Доказательство:

Для доказательства равенства углов $\angle(a,b)$ и $\angle(c,d)$ используем метод введения вспомогательного угла. Продолжим одну из сторон, например сторону $b$, до пересечения со стороной $c$. Точку их пересечения обозначим $K$. При пересечении этих прямых образуется угол, который мы обозначим $\angle 3$.

1. Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $c$ и секущую, содержащую луч $b$. Угол $\angle(a,b)$ и угол $\angle 3$ являются соответственными углами. По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны.
Следовательно, $\angle(a,b) = \angle 3$.

2. Теперь рассмотрим параллельные прямые $b$ и $d$ и секущую, содержащую луч $c$. Угол $\angle(c,d)$ и угол $\angle 3$ также являются соответственными углами.
Следовательно, $\angle(c,d) = \angle 3$.

3. Из полученных равенств $\angle(a,b) = \angle 3$ и $\angle(c,d) = \angle 3$ следует, что $\angle(a,b) = \angle(c,d)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов доказано на основе теоремы о соответственных углах при параллельных прямых и секущей. Построив вспомогательный угол путем продления одной из сторон, мы показываем, что оба исходных угла равны этому вспомогательному углу, а следовательно, равны между собой.

15.19. На рисунке 15.11 стороны a и b одного угла соответственно параллельны сторонам c и d другого угла. Докажите, что эти углы в сумме составляют $180^\circ$.

Рис. 15.11

Для доказательства данного утверждения введем обозначения для углов и выполним дополнительное построение на рисунке. Обозначим угол со сторонами $a$ и $b$ как $∠1$, а угол со сторонами $c$ и $d$ как $∠2$.

Дано:

Угол $∠1$ со сторонами $a$ и $b$.

Угол $∠2$ со сторонами $c$ и $d$.

По условию, стороны соответственно параллельны: $a \parallel c$ и $b \parallel d$.

Доказать:

$∠1 + ∠2 = 180°$.

Доказательство:

1. Продолжим сторону $c$ так, чтобы она пересекла сторону $b$. Точку их пересечения обозначим буквой $K$.

2. При пересечении продолжения стороны $c$ со стороной $b$ образуется угол, который мы обозначим как $∠3$.

3. Рассмотрим параллельные прямые $a$ и $c$ и секущую $b$. Углы $∠1$ и $∠3$ являются внутренними односторонними углами. Согласно свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180°$. Следовательно, $∠1 + ∠3 = 180°$.

4. Теперь рассмотрим параллельные прямые $b$ и $d$ и секущую, содержащую сторону $c$. Углы $∠2$ и $∠3$ являются накрест лежащими углами. Согласно свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы равны. Следовательно, $∠2 = ∠3$.

5. Подставим в выражение из пункта 3 вместо $∠3$ равный ему $∠2$ из пункта 4. Получим: $∠1 + ∠2 = 180°$.

Таким образом, мы доказали, что сумма данных углов составляет $180°$.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма данных углов равна $180°$.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

15.20. Изобразите какой-нибудь треугольник. С помощью транспортира измерьте его углы и найдите их сумму.

Для решения этой задачи выполним последовательно все требуемые действия.

Изобразите какой-нибудь треугольник

Нарисуем произвольный треугольник и обозначим его вершины буквами А, В и С.

На рисунке изображен треугольник $ABC$.

С помощью транспортира измерьте его углы

Чтобы измерить угол, нужно совместить центр транспортира с вершиной угла, а одну из сторон угла — с нулевой отметкой на шкале транспортира. Другая сторона угла укажет на шкале величину угла в градусах. Проведя измерения для нашего треугольника, мы получим следующие примерные значения: угол A примерно равен $43^\circ$ ($\angle A \approx 43^\circ$), угол B примерно равен $59^\circ$ ($\angle B \approx 59^\circ$), а угол C примерно равен $78^\circ$ ($\angle C \approx 78^\circ$). Важно отметить, что при измерении транспортиром возможны небольшие погрешности, поэтому полученные значения являются приблизительными.

...и найдите их сумму

Теперь сложим полученные значения углов:

$\angle A + \angle B + \angle C \approx 43^\circ + 59^\circ + 78^\circ = 180^\circ$

Этот результат подтверждает известную теорему геометрии: сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Какой бы треугольник мы ни нарисовали, результат будет таким же (с учетом погрешности измерений).

Ответ: Сумма углов нарисованного треугольника, измеренная с помощью транспортира, составляет примерно $180^\circ$. Теоретически, сумма углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$.

Как вы думаете, равна ли эта сумма $180^\circ$?

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Как вы думаете, равна ли эта сумма 180°?

Да, если предположить, что вопрос относится к сумме внутренних углов треугольника, то эта сумма действительно всегда равна $180°$. Это одно из фундаментальных положений евклидовой геометрии.

Ответ: Да, сумма равна $180°$.

Обоснуйте это следствие самостоятельно.

Данное утверждение, известное как теорема о сумме углов треугольника, можно рассматривать как следствие аксиомы о параллельных прямых. Приведем его строгое доказательство.

Теорема: Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180°$.

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим его внутренние углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ как $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$ соответственно. Требуется доказать, что $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180°$.

1. Построим через вершину $B$ прямую $l$, которая параллельна стороне $AC$.

2. Углы $\angle 4$, $\angle 2$ и $\angle 5$ образуют развернутый угол при вершине $B$. Величина развернутого угла равна $180°$. Следовательно, $\angle 4 + \angle 2 + \angle 5 = 180°$.

3. Прямые $l$ и $AC$ параллельны по построению ($l \parallel AC$). Прямая $AB$ является для них секущей. Углы $\angle 1$ и $\angle 4$ – это внутренние накрест лежащие углы, поэтому они равны: $\angle 1 = \angle 4$.

4. Точно так же, прямая $BC$ является секущей для параллельных прямых $l$ и $AC$. Углы $\angle 3$ и $\angle 5$ также являются внутренними накрест лежащими, а значит, они тоже равны: $\angle 3 = \angle 5$.

5. Теперь мы можем в равенстве $\angle 4 + \angle 2 + \angle 5 = 180°$ заменить угол $\angle 4$ на равный ему $\angle 1$, а угол $\angle 5$ – на равный ему $\angle 3$. В результате получим: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180°$.

Таким образом, мы доказали, что сумма внутренних углов треугольника $ABC$ равна $180°$.

Ответ: Обоснование основано на доказательстве теоремы о сумме углов треугольника. Через одну из вершин треугольника проводится прямая, параллельная противолежащей стороне. Углы, образующие развернутый угол ($180°$) при этой вершине, складываются. Два из этих углов оказываются равными двум другим углам треугольника (как накрест лежащие углы при параллельных прямых), что и позволяет доказать искомое утверждение путем простой подстановки.