Страница 88 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Чему равна сумма углов треугольника?

2. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

3. Чему равен внешний угол треугольника?

1. Чему равна сумма углов треугольника?

Сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии является постоянной величиной. Эта фундаментальная теорема гласит, что сумма всех трех углов треугольника всегда равна 180 градусам.

Если обозначить углы треугольника греческими буквами $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $, то их взаимосвязь можно выразить следующей формулой:

$$ \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} $$

Этот факт можно наглядно продемонстрировать. Если провести через одну из вершин треугольника прямую, параллельную противолежащей стороне, то образуются новые углы. Углы, накрест лежащие при параллельных прямых и секущих (боковых сторонах треугольника), будут равны двум другим углам треугольника. Вместе все три угла (один исходный и два новообразованных) образуют развернутый угол, который равен $ 180^{\circ} $, что и доказывает теорему.

Ответ: Сумма углов треугольника равна $ 180^{\circ} $.

2. Чему равна сумма острых углов прямоугольного треугольника?

Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен $ 90^{\circ} $. Два других угла в таком треугольнике всегда острые (то есть, каждый из них меньше $ 90^{\circ} $).

Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, мы знаем, что общая сумма всех углов равна $ 180^{\circ} $. Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны $ \alpha $ и $ \beta $. Тогда мы можем записать:

$$ \alpha + \beta + 90^{\circ} = 180^{\circ} $$

Чтобы найти сумму острых углов $ \alpha + \beta $, вычтем $ 90^{\circ} $ из обеих частей уравнения:

$$ \alpha + \beta = 180^{\circ} - 90^{\circ} $$

$$ \alpha + \beta = 90^{\circ} $$

Таким образом, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника всегда равна $ 90^{\circ} $.

Ответ: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $ 90^{\circ} $.

3. Чему равен внешний угол треугольника?

Внешний угол треугольника – это угол, смежный с одним из внутренних углов треугольника. Он образуется при продолжении одной из сторон треугольника за пределы вершины.

Теорема о внешнем угле треугольника гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Рассмотрим треугольник с внутренними углами $ \alpha $, $ \beta $ и $ \gamma $. Пусть $ \delta $ – внешний угол, смежный с углом $ \gamma $.

По определению смежных углов, их сумма равна $ 180^{\circ} $:

$$ \gamma + \delta = 180^{\circ} $$

Мы также знаем, что сумма внутренних углов треугольника равна $ 180^{\circ} $:

$$ \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ} $$

Сравнивая правые части обоих уравнений, мы можем приравнять их левые части:

$$ \alpha + \beta + \gamma = \gamma + \delta $$

Вычитая $ \gamma $ из обеих частей, получаем:

$$ \delta = \alpha + \beta $$

Следовательно, внешний угол треугольника ($ \delta $) равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним ($ \alpha $ и $ \beta $).

Ответ: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

16.1. Чему равны углы равностороннего треугольника?

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны по длине. Из свойства, что в треугольнике против равных сторон лежат равные углы, следует, что в равностороннем треугольнике все три угла также равны между собой.

Известно, что сумма внутренних углов любого треугольника составляет $180^\circ$.

Пусть $\alpha$ — это величина каждого из углов равностороннего треугольника. Тогда сумма углов будет равна:

$\alpha + \alpha + \alpha = 180^\circ$

Упростим выражение:

$3\alpha = 180^\circ$

Чтобы найти значение одного угла $\alpha$, разделим $180^\circ$ на 3:

$\alpha = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Следовательно, каждый угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$.

Ответ: все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

16.2. Чему равны острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника?

Для нахождения острых углов равнобедренного прямоугольного треугольника воспользуемся его свойствами.

Равнобедренный прямоугольный треугольник обладает двумя ключевыми характеристиками. Во-первых, он прямоугольный, а значит, один из его углов равен $90^\circ$. Во-вторых, он равнобедренный. В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее катетов, поэтому равными сторонами могут быть только катеты. По свойству равнобедренного треугольника, углы, противолежащие равным сторонам (в данном случае — острые углы при гипотенузе), равны между собой.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Обозначим величину каждого из двух равных острых углов как $\alpha$. Тогда, сложив все три угла, получим уравнение:

$\alpha + \alpha + 90^\circ = 180^\circ$

Решим это уравнение:

$2\alpha = 180^\circ - 90^\circ$

$2\alpha = 90^\circ$

$\alpha = \frac{90^\circ}{2}$

$\alpha = 45^\circ$

Следовательно, каждый из острых углов в равнобедренном прямоугольном треугольнике равен $45^\circ$.

Ответ: Каждый из острых углов равен $45^\circ$.

16.3. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $30^\circ$, угол $B$ равен $90^\circ$. Найдите угол $C$.

По теореме о сумме углов треугольника, сумма всех внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$.
В треугольнике $ABC$ нам известны два угла: $\angle A = 30^\circ$ и $\angle B = 90^\circ$.
Запишем уравнение, исходя из теоремы:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
Подставим известные значения в это уравнение:
$30^\circ + 90^\circ + \angle C = 180^\circ$
Сложим известные углы:
$120^\circ + \angle C = 180^\circ$
Чтобы найти угол $C$, вычтем сумму известных углов из $180^\circ$:
$\angle C = 180^\circ - 120^\circ$
$\angle C = 60^\circ$
Ответ: $60^\circ$.

16.4. Один острый угол прямоугольного треугольника на $32^\circ$ больше другого. Найдите больший острый угол.

Пусть меньший острый угол прямоугольного треугольника равен $x$. Согласно условию задачи, другой острый угол на $32^\circ$ больше, следовательно, его величина составляет $x + 32^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поскольку в прямоугольном треугольнике один угол прямой и равен $90^\circ$, то сумма двух острых углов составляет $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Составим уравнение, используя известную сумму острых углов:
$x + (x + 32^\circ) = 90^\circ$

Решим полученное уравнение:
$2x + 32^\circ = 90^\circ$
$2x = 90^\circ - 32^\circ$
$2x = 58^\circ$
$x = \frac{58^\circ}{2}$
$x = 29^\circ$

Мы нашли меньший острый угол, он равен $29^\circ$.

Теперь найдем больший острый угол, подставив значение $x$:
$x + 32^\circ = 29^\circ + 32^\circ = 61^\circ$

Ответ: 61°

16.5. Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Найдите меньший острый угол.

В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$. Сумма всех углов треугольника составляет $180^\circ$, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Пусть градусная мера меньшего острого угла равна $x$.

По условию задачи, другой острый угол в два раза больше, следовательно, его градусная мера равна $2x$.

Составим уравнение, зная, что сумма этих двух углов равна $90^\circ$:

$x + 2x = 90^\circ$

Решим это уравнение:

$3x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{3}$

$x = 30^\circ$

Таким образом, меньший острый угол равен $30^\circ$. Второй острый угол равен $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

16.6. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как $2:3$. Найдите больший острый угол.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. В прямоугольном треугольнике один из углов прямой, то есть равен $90^\circ$. Следовательно, сумма двух других, острых, углов равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Пусть $x$ — это коэффициент пропорциональности, тогда, согласно условию, один острый угол равен $2x$, а второй — $3x$.

Составим уравнение, исходя из того, что сумма этих двух углов равна $90^\circ$:

$2x + 3x = 90^\circ$

$5x = 90^\circ$

$x = \frac{90^\circ}{5}$

$x = 18^\circ$

Теперь найдем величину каждого из острых углов:

Меньший острый угол: $2x = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ$.

Больший острый угол: $3x = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$.

Проверим: $36^\circ + 54^\circ = 90^\circ$.

Больший из найденных острых углов равен $54^\circ$.

Ответ: $54^\circ$.