Страница 93 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Самостоятельно проверьте, что $AB < AC + BC$, $BC < AB + AC$.

Самостоятельно проверьте, что $AC > AB - BC$ и $BC > AC - AB$.

Самостоятельно проверьте, что $AB < AC + BC, BC < AB + AC$.

Эти неравенства являются частью фундаментального свойства любого треугольника, известного как неравенство треугольника. Теорема о неравенстве треугольника гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны. Для треугольника с вершинами A, B и C и сторонами AB, BC и AC это выражается тремя неравенствами:

1. $AB + BC > AC$

2. $AC + BC > AB$

3. $AB + AC > BC$

Неравенства в задании, $AB < AC + BC$ и $BC < AB + AC$, соответствуют второму и третьему пунктам. Проверим (докажем) справедливость этих неравенств.

Доказательство неравенства $AB < AC + BC$ (или $AC + BC > AB$):

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отложим отрезок $CD$, длина которого равна длине стороны $BC$.

Соединим точки $B$ и $D$. В получившемся треугольнике $ABD$ сторона $AD$ равна сумме отрезков $AC$ и $CD$. Так как по построению $CD = BC$, то $AD = AC + BC$.
Рассмотрим треугольник $BCD$. Поскольку $BC = CD$, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle CBD = \angle CDB$.
Угол $\angle ABD$ является суммой углов $\angle ABC$ и $\angle CBD$, то есть $\angle ABD = \angle ABC + \angle CBD$. Так как $\angle ABC$ — это угол исходного треугольника, его мера положительна. Отсюда следует, что $\angle ABD > \angle CBD$.
Заменив $\angle CBD$ на равный ему угол $\angle CDB$, получим $\angle ABD > \angle CDB$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Углу $\angle ABD$ противолежит сторона $AD$, а углу $\angle CDB$ (который также является углом $\angle ADB$) противолежит сторона $AB$.
Из того, что $\angle ABD > \angle ADB$, следует, что $AD > AB$.
Подставляя в это неравенство выражение для $AD$, получаем: $AC + BC > AB$, что эквивалентно $AB < AC + BC$.

Доказательство неравенства $BC < AB + AC$ (или $AB + AC > BC$):

Доказательство этого неравенства полностью аналогично. Для его проведения можно на продолжении стороны $BA$ за точку $A$ отложить отрезок, равный $AC$. Либо можно просто поменять обозначения вершин в предыдущем доказательстве. Таким образом, теорема верна для всех сторон треугольника.

Ответ: Указанные неравенства верны, так как они представляют собой теорему о неравенстве треугольника, которая гласит, что любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Мы доказали это свойство с помощью дополнительного геометрического построения.

Самостоятельно проверьте, что $AC > AB - BC$ и $BC > AC - AB$.

Эти неравенства являются следствием из теоремы о неравенстве треугольника. Они показывают, что любая сторона треугольника больше разности длин двух других сторон. Докажем каждое из этих неравенств, используя уже доказанную теорему.

Проверка неравенства $AC > AB - BC$:

Согласно теореме о неравенстве треугольника, для любого треугольника $ABC$ справедливо неравенство:
$AC + BC > AB$
Чтобы получить требуемое неравенство, вычтем из обеих его частей длину стороны $BC$:
$AC + BC - BC > AB - BC$
$AC > AB - BC$
Неравенство доказано. Стоит заметить, что если $AB \le BC$, то разность $AB - BC$ является отрицательным числом или нулем. Так как длина стороны $AC$ всегда положительна, в этом случае неравенство $AC > AB - BC$ очевидно справедливо.

Проверка неравенства $BC > AC - AB$:

Для доказательства второго неравенства воспользуемся другой формой неравенства треугольника:
$BC + AB > AC$
Теперь вычтем из обеих частей этого неравенства длину стороны $AB$:
$BC + AB - AB > AC - AB$
$BC > AC - AB$
Неравенство доказано. Как и в предыдущем случае, если $AC \le AB$, то разность $AC - AB$ не является положительным числом, и неравенство очевидно выполняется, так как длина стороны $BC$ всегда положительна.

Ответ: Данные неравенства являются прямыми следствиями из теоремы о неравенстве треугольника. Каждое из них получено путем алгебраического преобразования одного из основных неравенств треугольника.