Страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.7. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Одна из сторон больше другой в два раза. Найдите длину сторон этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые стороны), а третья сторона (основание) может отличаться от них по длине. Обозначим длину боковой стороны как $a$, а длину основания как $b$. Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + a + b = 2a + b$.

По условию, периметр равен 20 см, то есть $2a + b = 20$. Также известно, что одна из сторон в два раза больше другой. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Боковая сторона в два раза больше основания.

В этом случае $a = 2b$. Подставим это соотношение в формулу периметра:

$2 \cdot (2b) + b = 20$

$4b + b = 20$

$5b = 20$

$b = 4$ см.

Тогда длина боковой стороны $a = 2b = 2 \cdot 4 = 8$ см.Таким образом, стороны треугольника равны 8 см, 8 см и 4 см.Проверим, выполняется ли неравенство треугольника (сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей стороны):

$8 + 8 > 4$ (верно, $16 > 4$)

$8 + 4 > 8$ (верно, $12 > 8$)

Так как неравенство треугольника выполняется, такой треугольник существует.

Случай 2: Основание в два раза больше боковой стороны.

В этом случае $b = 2a$. Подставим это соотношение в формулу периметра:

$2a + (2a) = 20$

$4a = 20$

$a = 5$ см.

Тогда длина основания $b = 2a = 2 \cdot 5 = 10$ см.Таким образом, стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 10 см.Проверим, выполняется ли неравенство треугольника:

$5 + 5 > 10$ (неверно, так как $10 = 10$)

Поскольку неравенство треугольника не выполняется, треугольник с такими сторонами не может существовать (его вершины лежали бы на одной прямой).

Следовательно, верным является только первый случай.

Ответ: длины сторон треугольника равны 8 см, 8 см и 4 см.

17.8. На прямой с укажите точку C, для которой сумма расстояний $AC + CB$ наименьшая (рис. 17.6).

а)

б)

в)

Рис. 17.6

Задача заключается в нахождении на прямой $c$ такой точки $C$, чтобы сумма расстояний $AC + CB$ была наименьшей. Решение этой задачи, известной как задача Герона, зависит от взаимного расположения точек A и B относительно прямой $c$.

1. Если точки A и B лежат по одну сторону от прямой $c$, то для нахождения искомой точки C необходимо построить точку B', симметричную точке B относительно прямой $c$. Тогда для любой точки C на прямой $c$ длина отрезка $CB$ будет равна длине отрезка $CB'$, и сумма $AC + CB$ будет равна сумме $AC + CB'$. Эта сумма будет наименьшей, когда точки A, C и B' лежат на одной прямой, так как кратчайшее расстояние между двумя точками — это прямая. Таким образом, искомая точка C является точкой пересечения отрезка AB' с прямой $c$.

2. Если точки A и B лежат по разные стороны от прямой $c$, то согласно неравенству треугольника, для любой точки C, не лежащей на отрезке AB, выполняется $AC + CB > AB$. Равенство $AC + CB = AB$ достигается только тогда, когда точка C лежит на отрезке AB. Следовательно, искомая точка C является точкой пересечения отрезка AB с прямой $c$.

а) В данном случае точки A и B расположены по одну сторону от прямой c. Для нахождения точки C, минимизирующей сумму $AC+CB$, воспользуемся методом отражения. Отразим точку B относительно прямой c, чтобы получить точку B'. Искомая точка C будет лежать на пересечении отрезка AB' и прямой c. На рисунке ниже показано это построение: зеленой линией показан кратчайший путь, а серой пунктирной линией — построение точки B'.

Введем систему координат, приняв левый нижний угол сетки за начало координат (0,0), а сторону клетки за единицу длины. Координаты точек: A(1, 1) и B(5, 1). Уравнение прямой c: $y=4$. Расстояние от точки B до прямой c равно $4-1=3$. Следовательно, отраженная точка B' будет иметь координаты (5, 4+3), то есть B'(5, 7). Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 1) и B'(5, 7): $y - 1 = \frac{7-1}{5-1}(x-1)$, что упрощается до $y - 1 = \frac{3}{2}(x-1)$. Для нахождения точки C подставим в это уравнение $y=4$: $4 - 1 = \frac{3}{2}(x-1) \Rightarrow 3 = \frac{3}{2}(x-1) \Rightarrow 2 = x-1 \Rightarrow x=3$. Таким образом, координаты точки C равны (3, 4). Так как точки A и B в данном случае равноудалены от прямой c, искомая точка C также является основанием перпендикуляра, опущенного из середины отрезка AB на прямую c.

Ответ: Искомая точка C находится на прямой c в точке с координатами (3, 4), если принять левый нижний узел сетки за начало координат. Эта точка является пересечением прямой c и перпендикуляра к ней, проходящего через середину отрезка AB.

б) В этом случае точки A и B также расположены по одну сторону от прямой c, поэтому применяем тот же метод отражения. Отражаем точку B относительно прямой c, получаем точку B', и искомая точка C будет являться пересечением отрезка AB' с прямой c.

Введем аналогичную систему координат. Координаты точек: A(1, 2) и B(5, 1). Уравнение прямой c: $y=4$. Отразим точку B(5, 1) относительно прямой $y=4$. Расстояние от B до прямой равно $4-1=3$. Координаты отраженной точки B' будут (5, 4+3), то есть B'(5, 7). Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A(1, 2) и B'(5, 7): $y - 2 = \frac{7-2}{5-1}(x-1)$, что равносильно $y - 2 = \frac{5}{4}(x-1)$. Чтобы найти координаты точки C, подставим $y=4$: $4 - 2 = \frac{5}{4}(x-1) \Rightarrow 2 = \frac{5}{4}(x-1) \Rightarrow 8 = 5(x-1) \Rightarrow 8 = 5x-5 \Rightarrow 5x=13 \Rightarrow x=2.6$. Координаты точки C: (2.6, 4).

Ответ: Искомая точка C находится на прямой c в точке с координатами (2.6, 4).

в) Здесь точки A и B лежат по разные стороны от прямой c. Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, их соединяющего. Сумма $AC+CB$ будет минимальной и равной длине отрезка $AB$, если точка C лежит на этом отрезке. Следовательно, искомая точка C — это точка пересечения отрезка AB и прямой c.

Введем систему координат. Координаты точек: A(1, 3) и B(4, 1). Прямая c проходит через точки (0, 5) и (5, 0), ее уравнение: $y = -x+5$. Проверим, лежит ли точка B на прямой c, подставив ее координаты в уравнение: $1 = -4+5$, что является верным равенством. Так как точка B уже лежит на прямой c, то отрезок AB пересекает прямую c в самой точке B. Таким образом, искомая точка C совпадает с точкой B, а минимальная сумма расстояний равна длине отрезка AB.

Ответ: Искомая точка C совпадает с точкой B.

17.9. Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше половины его периметра.

Пусть дан треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$. Периметр этого треугольника $P$ равен сумме длин его сторон: $P = a + b + c$.

Требуется доказать, что любая сторона треугольника меньше половины его периметра. Докажем это для стороны $a$, то есть докажем неравенство $a < \frac{P}{2}$.

Воспользуемся основным свойством любого треугольника — неравенством треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника больше длины третьей стороны. Для стороны $a$ соответствующее неравенство выглядит так: $b + c > a$

Прибавим к обеим частям этого неравенства величину $a$. Знак неравенства при этом не изменится: $a + b + c > a + a$

В левой части полученного неравенства стоит сумма сторон треугольника, которая равна его периметру $P$. В правой части стоит удвоенная сторона $a$. Таким образом, неравенство можно переписать в виде: $P > 2a$

Теперь разделим обе части неравенства на положительное число 2. Знак неравенства при этом сохранится: $\frac{P}{2} > a$

Это неравенство эквивалентно тому, что и требовалось доказать: $a < \frac{P}{2}$.

Поскольку выбор стороны $a$ был произвольным, аналогичные рассуждения полностью справедливы и для сторон $b$ и $c$. Таким образом, доказано, что каждая сторона треугольника меньше половины его периметра.

Ответ: Утверждение доказано.

Вилы его периметра.

17.10. Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $a, b, c$, где $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$. Проведем медиану $AM$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Обозначим длину этой медианы как $m_a$. Полупериметр треугольника $p$ равен $p = \frac{a+b+c}{2}$. Нам необходимо доказать, что $m_a < p$, то есть $m_a < \frac{a+b+c}{2}$.

Для доказательства воспользуемся методом достроения треугольника до параллелограмма.

1. На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный по длине медиане $AM$. Таким образом, $AD = AM + MD = 2AM = 2m_a$.

2. Соединим точку $D$ с вершинами $B$ и $C$. Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $M$ — середина стороны $BC$ ($BM = MC$). По нашему построению, $M$ — середина отрезка $AD$ ($AM = MD$).

3. Поскольку диагонали четырехугольника $ABDC$ точкой пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

4. Основное свойство параллелограмма — равенство противолежащих сторон. Отсюда следует, что $CD = AB = c$ и $BD = AC = b$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Применим это правило к стороне $AD$:$AD < AC + CD$

6. Подставим в это неравенство длины отрезков, выраженные через стороны и медиану исходного треугольника $ABC$:$2m_a < b + c$

7. Мы доказали, что удвоенная медиана меньше суммы двух прилежащих к ней сторон. Теперь вернемся к основной задаче. Длина стороны $a$ является положительной величиной ($a > 0$), поэтому очевидно, что $b+c < a+b+c$.

8. Объединяя результаты, получаем цепочку неравенств: $2m_a < b+c$ и $b+c < a+b+c$. Отсюда напрямую следует, что:$2m_a < a+b+c$

9. Разделив обе части этого неравенства на 2, мы получаем искомое соотношение:$m_a < \frac{a+b+c}{2}$

Таким образом, доказано, что любая медиана треугольника строго меньше его полупериметра.

Ответ: Утверждение доказано. Используя метод достроения до параллелограмма и свойство неравенства треугольника, мы показали, что медиана треугольника ($m_a$) всегда меньше его полупериметра ($\frac{a+b+c}{2}$).

17.11. Докажите, что сумма расстояний от любой внутренней точки треугольника до его вершин больше его полупериметра.

17.12. Докажите, что медиана треугольника может

Пусть дан треугольник ABC со сторонами a, b, c, где $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$. Его полупериметр $p$ равен $p = \frac{a+b+c}{2}$. Пусть M — произвольная точка, расположенная внутри треугольника ABC. Требуется доказать, что сумма расстояний от точки M до вершин треугольника больше его полупериметра, то есть $MA + MB + MC > p$.

Рассмотрим три треугольника, образованных точкой M и вершинами исходного треугольника: $\triangle AMB$, $\triangle BMC$ и $\triangle CMA$. Применим к каждому из них неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны.

Для треугольника $\triangle BMC$ справедливо неравенство: $MB + MC > BC = a$.
Для треугольника $\triangle CMA$ справедливо неравенство: $MC + MA > AC = b$.
Для треугольника $\triangle AMB$ справедливо неравенство: $MA + MB > AB = c$.

Сложим почленно эти три неравенства:

$(MB + MC) + (MC + MA) + (MA + MB) > a + b + c$

После приведения подобных слагаемых в левой части получим:

$2 \cdot MA + 2 \cdot MB + 2 \cdot MC > a + b + c$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(MA + MB + MC) > a + b + c$

Разделив обе части неравенства на 2, приходим к требуемому результату:

$MA + MB + MC > \frac{a+b+c}{2}$

Так как полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$, то мы доказали, что $MA + MB + MC > p$. Таким образом, сумма расстояний от любой внутренней точки треугольника до его вершин больше его полупериметра. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

17.12. Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключается.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ к стороне $BC$. Требуется доказать, что медиана $AM$ меньше полусуммы сторон $AB$ и $AC$, между которыми она заключена, то есть, что выполняется неравенство: $AM < \frac{AB + AC}{2}$.

Для доказательства выполним дополнительное построение. На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный отрезку $AM$. Соединим точку $D$ с точкой $C$. В результате получим четырехугольник $ABDC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle DCM$. В них сторона $AM$ равна стороне $DM$ по построению, сторона $BM$ равна стороне $CM$, так как $AM$ — медиана, а угол $\angle AMB$ равен углу $\angle DMC$ как вертикальные углы.

Следовательно, $\triangle ABM = \triangle DCM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = DC$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Для стороны $AD$ это неравенство записывается как: $AD < AC + DC$.

По нашему построению, длина отрезка $AD$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MD$. Так как $MD = AM$, то $AD = 2 \cdot AM$. Мы также установили, что $DC = AB$. Подставим эти выражения в неравенство треугольника:

$2 \cdot AM < AC + AB$

Разделив обе части неравенства на 2, получаем требуемое соотношение:

$AM < \frac{AB + AC}{2}$

Таким образом, мы доказали, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключена.

Ответ: Утверждение доказано.

17.13. Дана прямая $c$ и две точки $A$ и $B$, лежащие от нее по одну сторону (рис. 17.7). Постройте такую точку $C$ на прямой $c$, для которой разность расстояний $AC - CB$ наибольшая.

Рис. 17.7

Для нахождения точки C на прямой c, для которой разность расстояний $AC - CB$ наибольшая, воспользуемся неравенством треугольника. Для любых трех точек A, B и C', которые не лежат на одной прямой, справедливо строгое неравенство: разность длин двух сторон треугольника меньше длины третьей стороны. В нашем случае, для треугольника ABC' имеем $AC' - C'B < AB$.

Равенство $AC - CB = AB$ достигается только в том случае, когда точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка B находится между точками A и C. В этом случае разность $AC - CB$ достигает своего максимально возможного значения, равного длине отрезка AB.

Таким образом, чтобы максимизировать разность $AC - CB$, искомая точка C должна быть точкой пересечения прямой, проходящей через точки A и B, с данной прямой c.

Построение

1. С помощью линейки проведите прямую через точки A и B.

2. Продолжите эту прямую до пересечения с прямой c.

3. Точка пересечения и будет искомой точкой C.

Доказательство

Пусть C — точка, построенная выше, то есть точка пересечения прямой AB и прямой c. По построению, точки A, B и C лежат на одной прямой. Так как точки A и B находятся по одну сторону от прямой c, точка C не может лежать между A и B. В зависимости от расположения A и B, либо B лежит между A и C, либо A лежит между B и C. Мы ищем максимум для $AC - CB$. Этот максимум будет положительным, если AC > CB, что соответствует случаю, когда B находится между A и C. В этом случае, длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$, то есть $AC = AB + BC$.

Тогда разность расстояний равна: $AC - BC = (AB + BC) - BC = AB$.

Теперь выберем на прямой c любую другую точку C', не совпадающую с C. Точки A, B и C' образуют невырожденный треугольник. По неравенству треугольника для $ \triangle ABC' $: $AC' < AB + BC'$.

Перенеся $BC'$ в левую часть, получим: $AC' - BC' < AB$.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что $AC - BC = AB$, а для любой другой точки $C'$ на прямой c выполняется $AC' - BC' < AB$. Следовательно, построенная точка C действительно обеспечивает наибольшую возможную разность расстояний.

Ответ: Искомая точка C — это точка пересечения прямой, проходящей через точки A и B, с прямой c.