Страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.19. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен $120^\circ$. Найдите острые углы этого треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник с внутренними углами $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Поскольку треугольник прямоугольный, один из его углов равен $90^\circ$. Пусть $\gamma = 90^\circ$. Тогда $\alpha$ и $\beta$ — острые углы, и их сумма равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Внешний угол треугольника смежен с одним из его внутренних углов. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Рассмотрим, с каким внутренним углом может быть смежен внешний угол, равный $120^\circ$.

1. Если бы внешний угол был смежен с прямым углом $\gamma$, то его величина была бы $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Это не соответствует условию задачи, где внешний угол равен $120^\circ$.

2. Следовательно, внешний угол $120^\circ$ смежен с одним из острых углов, например, с углом $\alpha$.

Найдем величину этого острого угла $\alpha$:

$\alpha = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Теперь, зная один острый угол, найдем второй острый угол $\beta$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

$60^\circ + \beta = 90^\circ$

$\beta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$

Таким образом, острые углы этого треугольника равны $30^\circ$ и $60^\circ$.

Ответ: $30^\circ$ и $60^\circ$.

16.20. Найдите сумму всех трех внешних углов треугольника по одному при каждой вершине.

Для нахождения суммы внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, рассмотрим треугольник с внутренними углами $α$, $β$ и $γ$. Внешний угол при каждой вершине является смежным с внутренним углом, а сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Способ 1.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$:

$α + β + γ = 180^\circ$

Обозначим внешние углы, соответствующие внутренним углам $α$, $β$ и $γ$, как $α'$, $β'$ и $γ'$. Поскольку внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$:

$α' = 180^\circ - α$

$β' = 180^\circ - β$

$γ' = 180^\circ - γ$

Чтобы найти сумму всех трех внешних углов, сложим эти три равенства:

$S_{внешн.} = α' + β' + γ' = (180^\circ - α) + (180^\circ - β) + (180^\circ - γ)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_{внешн.} = (180^\circ + 180^\circ + 180^\circ) - (α + β + γ)$

$S_{внешн.} = 540^\circ - (α + β + γ)$

Подставим известное значение суммы внутренних углов ($180^\circ$):

$S_{внешн.} = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ$

Способ 2.

Воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника, которая гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

$α' = β + γ$

$β' = α + γ$

$γ' = α + β$

Сложим все внешние углы:

$S_{внешн.} = α' + β' + γ' = (β + γ) + (α + γ) + (α + β)$

Сгруппировав слагаемые, получим удвоенную сумму внутренних углов треугольника:

$S_{внешн.} = 2α + 2β + 2γ = 2(α + β + γ)$

Так как сумма внутренних углов треугольника $α + β + γ = 180^\circ$, то:

$S_{внешн.} = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

Оба способа показывают, что сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, постоянна и не зависит от формы треугольника.

Ответ: $360^\circ$.

16.21. Докажите, что если один из углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, то катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы.

Дано: Прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$ и один из острых углов, например $\angle A$, равен $30^\circ$.

Доказать: Катет $BC$, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы $AB$, то есть $BC = \frac{1}{2} AB$.

Доказательство:

Рассмотрим данный прямоугольный треугольник $ABC$. Построим треугольник $ADC$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $AC$. Так как осевая симметрия является движением, то треугольник $ADC$ равен треугольнику $ABC$.

Рассмотрим получившийся в результате построения треугольник $ABD$.

Из равенства треугольников $ABC$ и $ADC$ следует равенство их соответствующих сторон и углов:

1. $AB = AD$.

2. $\angle DAC = \angle BAC = 30^\circ$.

Найдем угол $\angle BAD$ треугольника $ABD$:

$\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.

Так как в треугольнике $ABD$ две стороны равны ($AB=AD$), он является равнобедренным. А поскольку угол между этими равными сторонами ($\angle BAD$) равен $60^\circ$, то треугольник $ABD$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, то есть $AB = BD = AD$.

Также в равностороннем треугольнике высота, проведенная из любой вершины, является также медианой и биссектрисой. В треугольнике $ABD$ отрезок $AC$ является высотой, так как $\angle ACB=90^\circ$. Следовательно, $AC$ является и медианой, делящей сторону $BD$ пополам в точке $C$.

Таким образом, $BC = \frac{1}{2} BD$.

Поскольку $BD = AB$ (как стороны равностороннего треугольника), мы можем заменить $BD$ на $AB$ в предыдущем равенстве:

$BC = \frac{1}{2} AB$.

Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если один из углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, то катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы.

16.22. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, параллельна ему (рис. 16.8).

Рис. 16.8

Рис. 16.9

Дано:

Треугольник $ABC$ — равнобедренный, $AB$ — основание ($AC = BC$).
$CD$ — биссектриса внешнего угла при вершине $C$.

Доказать:

$CD \parallel AB$.

Доказательство:

1. Продлим сторону $BC$ за вершину $C$ и обозначим на продолжении точку $K$. Угол $\angle ACK$ является внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$.

2. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle ACK = \angle CAB + \angle CBA$.

3. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, углы при основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$.

4. Подставим это равенство в формулу для внешнего угла: $\angle ACK = \angle CAB + \angle CAB = 2 \cdot \angle CAB$.

5. По условию, луч $CD$ является биссектрисой внешнего угла $\angle ACK$. Следовательно, он делит этот угол на два равных угла: $\angle ACD = \frac{1}{2} \angle ACK$.

6. Заменим $\angle ACK$ на выражение, полученное в шаге 4: $\angle ACD = \frac{1}{2} (2 \cdot \angle CAB) = \angle CAB$.

7. Теперь рассмотрим прямые $CD$ и $AB$ и секущую $AC$. Углы $\angle ACD$ и $\angle CAB$ являются внутренними накрест лежащими углами.

8. Так как мы доказали, что $\angle ACD = \angle CAB$, то по признаку параллельности двух прямых (если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны) следует, что $CD \parallel AB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что биссектриса внешнего угла при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, параллельна ему.

16.23. Найдите сумму острых углов произвольной пятиконечной звездочки (рис. 16.9).

Рис. 16.9

Для нахождения суммы острых углов произвольной пятиконечной звездочки, обозначим эти углы как $∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5$.

Рассмотрим пятиконечную звездочку как фигуру, состоящую из пяти треугольников по ее концам и одного пятиугольника в центре. Обозначим искомый сумму углов как $S = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5$.

Способ 1: Использование суммы углов треугольников и пятиугольника.

1. Внутренние пересечения линий звезды образуют в центре выпуклый пятиугольник. Сумма внутренних углов любого выпуклого пятиугольника равна $(5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$. Обозначим эти углы как $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5$. Итак, $\sum_{i=1}^{5} p_i = 540^\circ$.

2. В каждой вершине внутреннего пятиугольника пересекаются две линии звезды. Эти линии образуют две пары вертикальных углов. Одна пара — это внутренний угол пятиугольника $p_i$ и равный ему угол. Другая пара — это углы, которые являются базовыми углами для треугольников на концах звезды. Обозначим эти углы как $y_i$. Поскольку сумма углов, образованных пересечением двух прямых, равна $360^\circ$, то $2p_i + 2y_i = 360^\circ$, откуда следует, что $p_i + y_i = 180^\circ$.

3. Просуммируем это соотношение для всех пяти вершин пятиугольника:$ (p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5) + (y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5) = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ $Зная, что сумма углов $p_i$ равна $540^\circ$, находим сумму углов $y_i$:$ 540^\circ + \sum_{i=1}^{5} y_i = 900^\circ $$ \sum_{i=1}^{5} y_i = 900^\circ - 540^\circ = 360^\circ $.

4. Теперь рассмотрим пять треугольников, образующих концы звезды. Сумма углов в каждом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника с углом $∠1$ два других угла при основании являются вертикальными к некоторым двум углам из набора $y_i$. Просуммировав углы всех пяти треугольников, мы получим:$ (∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5) + \text{(сумма всех 10 углов при основаниях)} = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ $.Каждый угол $y_i$ является углом при основании для двух разных треугольников. Следовательно, сумма всех 10 углов при основаниях равна $2 \cdot (y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5) = 2 \cdot \sum y_i$.

5. Подставляем известные значения в уравнение:$ S + 2 \cdot \sum_{i=1}^{5} y_i = 900^\circ $$ S + 2 \cdot 360^\circ = 900^\circ $$ S + 720^\circ = 900^\circ $$ S = 900^\circ - 720^\circ = 180^\circ $.

Способ 2: Использование теоремы о внешнем угле треугольника.

1. Рассмотрим треугольник с вершиной в угле $∠1$. Его сторонами являются отрезки линий звезды. Два других угла этого треугольника лежат на одной из линий звезды. Назовем этот треугольник $T_1$, а его вершины $A, B, C$, где $∠A = ∠1$.

2. Сумма углов в $T_1$: $∠1 + ∠B + ∠C = 180^\circ$.

3. Угол $∠B$ является внешним углом для треугольника, образующего "луч" звезды с углом $∠3$. Следовательно, $∠B = ∠3 + (\text{третий угол этого треугольника})$. Аналогично, угол $∠C$ является внешним углом для треугольника с углом $∠5$.

4. Если аккуратно проследить по фигуре, можно составить систему уравнений. Проще всего рассмотреть большой треугольник, включающий в себя угол $∠1$, а два других его угла выразить через внешние углы треугольников с углами $∠3$ и $∠4$. Пусть вершины звезды $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5$. Рассмотрим треугольник, образованный вершиной $V_1$ и точками пересечения на противоположной стороне $V_3V_4$. Пусть это $\triangle V_1 P Q$. Тогда $∠V_1 + ∠V_1PQ + ∠V_1QP = 180^\circ$. Угол $\angle V_1PQ$ является внешним для треугольника с вершиной $V_3$, а $\angle V_1QP$ — внешним для треугольника с вершиной $V_4$. Сумма двух углов при основании треугольника с вершиной $V_2$ равна углу $\angle P V_1 Q$. Объединяя эти соотношения, можно показать, что сумма всех пяти углов равна $180^\circ$.

Оба метода показывают, что сумма острых углов произвольной пятиконечной звездочки не зависит от ее формы и всегда постоянна.

Ответ: $180^\circ$.

16.24. В треугольнике $ABC$ $\angle A$ равен $60^\circ$, $\angle B$ равен $70^\circ$, $CH$— высота (рис. 16.10). Найдите разность углов $\angle ACH$ и $\angle BCH$.

Рис. 16.10

Рис. 16.11

Решение:
По условию задачи в треугольнике $ABC$ известны два угла: $\angle A = 60^\circ$ и $\angle B = 70^\circ$. $CH$ — это высота, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$.

Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle C$. Сумма углов в треугольнике всегда равна $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 60^\circ - 70^\circ = 50^\circ$.
Поскольку все три угла треугольника $ABC$ являются острыми (меньше $90^\circ$), то треугольник $ABC$ — остроугольный. В остроугольном треугольнике все высоты лежат внутри него, поэтому основание высоты $H$ находится на отрезке $AB$.

Высота $CH$ перпендикулярна стороне $AB$, что означает $\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ$. Таким образом, высота делит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника: $\triangle ACH$ и $\triangle BCH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ACH$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Следовательно:
$\angle ACH + \angle A = 90^\circ$
Отсюда можем найти $\angle ACH$:
$\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BCH$. Аналогично, сумма его острых углов равна $90^\circ$:
$\angle BCH + \angle B = 90^\circ$
Отсюда находим $\angle BCH$:
$\angle BCH = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$.

Последний шаг — найти разность углов $\angle ACH$ и $\angle BCH$.
$|\angle ACH - \angle BCH| = |30^\circ - 20^\circ| = 10^\circ$.

Ответ: $10^\circ$.