Страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

15.8. В треугольнике $ABC$ $\angle A= 40^{\circ}$, $\angle B = 70^{\circ}$. Через вершину $B$ проведена прямая $BD$ так, что луч $BC$ — биссектриса угла $ABD$ (15.7). Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Рис. 15.7

В треугольнике $ABC$ известны два угла: $ \angle A = 40^\circ $ и $ \angle ABC = 70^\circ $. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно, мы можем вычислить третий угол, $ \angle ACB $:
$ \angle ACB = 180^\circ - \angle A - \angle ABC = 180^\circ - 40^\circ - 70^\circ = 70^\circ $.

По условию, луч $BC$ является биссектрисой угла $ABD$. Это значит, что он делит угол $ABD$ на два равных угла: $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $. Таким образом, $ \angle CBD = \angle ABC $. Поскольку $ \angle ABC = 70^\circ $, то и $ \angle CBD = 70^\circ $.

Теперь рассмотрим прямые $AC$ и $BD$ и пересекающую их прямую (секущую) $BC$. Углы $ \angle ACB $ и $ \angle CBD $ являются внутренними накрест лежащими углами. Мы установили, что $ \angle ACB = 70^\circ $ и $ \angle CBD = 70^\circ $.

Так как внутренние накрест лежащие углы равны ($ \angle ACB = \angle CBD $), то по признаку параллельности прямых, прямые $AC$ и $BD$ являются параллельными, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

15.9. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в их общей середине $O$ (рис. 15.8). Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

Рис. 15.8

Для доказательства параллельности прямых $AC$ и $BD$ рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

Согласно условию, точка $O$ является общей серединой отрезков $AB$ и $CD$. Из этого следует, что $AO = OB$ и $CO = OD$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ равны как вертикальные углы, образованные при пересечении отрезков $AB$ и $CD$.

Следовательно, треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), так как $AO = OB$, $CO = OD$ и $\angle AOC = \angle BOD$.

Из равенства треугольников $\triangle AOC \cong \triangle BOD$ следует равенство их соответственных углов: $\angle OAC = \angle OBD$.

Углы $\angle OAC$ и $\angle OBD$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $AC$ и $BD$ и секущей $AB$. Так как эти углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые $AC$ и $BD$ параллельны ($AC \parallel BD$).

Ответ: Доказано, что прямые $AC$ и $BD$ параллельны.

15.10. Найдите неизвестный угол, если $AD \parallel BC$ (рис. 15.9).

а)

Четырехугольник ABCD. $\angle A = 62^{\circ}$. Неизвестный угол $\angle C$.

б)

Фигура FBCDA. $AD \parallel BC$. $\triangle FBC$ является равнобедренным с $FB = FC$. $\angle D = 70^{\circ}$. Неизвестный угол $\angle F$.

в)

Линии $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. $DO = OB$. $CO = OA$. $\angle D = 65^{\circ}$. Неизвестный угол $\angle C$.

Рис. 15.9

а)

На рисунке изображена трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, $AD \parallel BC$. Угол при вершине $A$ равен $62^\circ$. Требуется найти угол при вершине $C$.

Хотя в условии это не указано, обычно в таких задачах предполагается, что трапеция равнобедренная, если на вид она таковой является и нет противоречащих данных. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Следовательно, $\angle D = \angle A = 62^\circ$.

Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, а $CD$ — секущая. Сумма односторонних внутренних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. Значит, $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

Подставим известное значение угла $D$:$\angle C + 62^\circ = 180^\circ$$\angle C = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.

В качестве проверки можно использовать другое свойство равнобедренной трапеции: углы при верхнем основании также равны, $\angle B = \angle C$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне $AB$, равна $180^\circ$.$\angle A + \angle B = 180^\circ$.$\angle B = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.Следовательно, $\angle C = \angle B = 118^\circ$. Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $118^\circ$.

б)

На рисунке показан треугольник $FAD$ и отрезок $BC$, параллельный основанию $AD$ ($BC \parallel AD$). Угол $\angle FDA$ (или $\angle D$) равен $70^\circ$. На сторонах $FB$ и $FC$ есть пометки, указывающие на их равенство: $FB=FC$. Требуется найти угол $\angle FBC$ (отмечен знаком вопроса).

Поскольку $BC \parallel AD$, а $FD$ является секущей, то соответственные углы равны: $\angle FCB = \angle FDA = 70^\circ$.

Рассмотрим треугольник $FBC$. По условию, он равнобедренный, так как $FB = FC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В $\triangle FBC$ углами при основании $BC$ являются $\angle FBC$ и $\angle FCB$.

Следовательно, $\angle FBC = \angle FCB$.

Так как мы уже нашли, что $\angle FCB = 70^\circ$, то и $\angle FBC = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

в)

На рисунке отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По условию, $AD \parallel BC$. Угол $\angle OAD$ равен $65^\circ$. Требуется найти угол $\angle OCB$.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AC$. Углы $\angle OAD$ (то же, что и $\angle DAC$) и $\angle OCB$ (то же, что и $\angle BCA$) являются накрест лежащими углами.

При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны.

Следовательно, $\angle OCB = \angle OAD$.

Поскольку $\angle OAD = 65^\circ$, то $\angle OCB = 65^\circ$.

Дополнительная информация на рисунке (равенство отрезков $AO=OD$ и $BO=OC$) подтверждает этот вывод. Из $AD \parallel BC$ и секущей $BD$ следует, что $\angle OBC = \angle ODA$ (накрест лежащие). Из $AO=OD$ следует, что $\triangle AOD$ равнобедренный, и $\angle ODA = \angle OAD = 65^\circ$. Значит, $\angle OBC = 65^\circ$. Из $BO=OC$ следует, что $\triangle BOC$ равнобедренный, и $\angle OCB = \angle OBC$. Таким образом, $\angle OCB = 65^\circ$.

Ответ: $65^\circ$.

15.11. Найдите углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

а) один из углов равен $150^\circ$;

б) один из углов на $70^\circ$ больше другого.

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется 8 углов. Эти углы можно сгруппировать в два множества: все углы в одном множестве равны между собой. Любой угол из одного множества и любой угол из другого в сумме дают $180^\circ$ (они являются смежными или односторонними). Таким образом, при пересечении образуются углы только двух величин, которые дополняют друг друга до $180^\circ$.

На рисунке показаны две параллельные прямые a и b, пересеченные секущей c. Углы одной величины отмечены красным цветом (острые), а углы другой величины — синим (тупые). Сумма "красного" и "синего" углов равна $180^\circ$.

а) Пусть один из углов равен $150^\circ$. Так как этот угол больше $90^\circ$, он является тупым. Это значит, что все четыре тупых угла (на рисунке — синие) равны $150^\circ$.
Острые углы (на рисунке — красные) являются смежными для тупых, поэтому их величина вычисляется как разность между $180^\circ$ и величиной тупого угла:
$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$
Следовательно, все четыре острых угла равны $30^\circ$.
Таким образом, образуются четыре угла по $30^\circ$ и четыре угла по $150^\circ$.
Ответ: четыре угла по $30^\circ$ и четыре угла по $150^\circ$.

б) По условию, один из углов на $70^\circ$ больше другого. Поскольку углы не равны, они должны быть разных типов (один острый, другой тупой). Их сумма равна $180^\circ$.
Пусть меньший угол (острый) равен $x$.
Тогда больший угол (тупой) равен $x + 70^\circ$.
Составим уравнение, исходя из того, что их сумма равна $180^\circ$:
$x + (x + 70^\circ) = 180^\circ$
$2x + 70^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 70^\circ$
$2x = 110^\circ$
$x = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ$
Таким образом, меньший угол равен $55^\circ$.
Больший угол равен:
$55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$
В результате образуются четыре острых угла по $55^\circ$ и четыре тупых угла по $125^\circ$.
Ответ: четыре угла по $55^\circ$ и четыре угла по $125^\circ$.

15.12. Сумма двух внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми и секущей, равна 150°. Найдите эти углы.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$, пересеченные секущей $c$. Обозначим образовавшиеся внутренние накрест лежащие углы как $\angle 1$ и $\angle 2$.

Согласно свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны:

$\angle 1 = \angle 2$

По условию задачи, сумма этих углов равна $150^\circ$:

$\angle 1 + \angle 2 = 150^\circ$

Поскольку углы равны, мы можем подставить $\angle 1$ вместо $\angle 2$ в уравнение их суммы:

$\angle 1 + \angle 1 = 150^\circ$

$2 \cdot \angle 1 = 150^\circ$

Отсюда находим величину одного угла:

$\angle 1 = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$

Так как $\angle 1 = \angle 2$, то второй угол также равен $75^\circ$.

$\angle 2 = 75^\circ$

Ответ: каждый из углов равен $75^\circ$.

15.13. Разность двух внутренних односторонних углов, образованных параллельными прямыми и секущей, равна $30^\circ$. Найдите эти углы.

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — это два внутренних односторонних угла. По свойству углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, их сумма равна $180^\circ$. Это дает нам первое уравнение:

$\alpha + \beta = 180^\circ$

По условию задачи, разность этих углов равна $30^\circ$. Предположим, что $\alpha$ — это больший угол. Тогда мы получаем второе уравнение:

$\alpha - \beta = 30^\circ$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными, которую необходимо решить:

$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 30^\circ\end{cases}$

Чтобы найти один из углов, сложим оба уравнения системы:

$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 30^\circ$
$2\alpha = 210^\circ$
$\alpha = \frac{210^\circ}{2}$
$\alpha = 105^\circ$

Мы нашли величину большего угла. Теперь, чтобы найти второй угол $\beta$, подставим найденное значение $\alpha$ в первое уравнение:

$105^\circ + \beta = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ - 105^\circ$
$\beta = 75^\circ$

Таким образом, искомые углы равны $105^\circ$ и $75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$, $105^\circ$.

15.14. Концы отрезка $AB$ лежат на параллельных прямых $a$ и $b$. Прямая, проходящая через середину $O$ этого отрезка, пересекает прямые $a$ и $b$ в точках $C$ и $D$. Докажите, что $CO = OD$.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Концы отрезка $AB$ лежат на этих прямых, то есть точка $A$ находится на прямой $a$, а точка $B$ — на прямой $b$. Точка $O$ является серединой отрезка $AB$. Через точку $O$ проведена прямая, которая пересекает прямую $a$ в точке $C$ и прямую $b$ в точке $D$. Необходимо доказать, что $CO = OD$.

Для доказательства равенства отрезков $CO$ и $OD$ рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

1. Сторона $AO$ равна стороне $BO$ ($AO = OB$), так как по условию точка $O$ является серединой отрезка $AB$.

2. Угол $\angle AOC$ равен углу $\angle BOD$ ($\angle AOC = \angle BOD$), так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$.

3. Угол $\angle CAO$ равен углу $\angle DBO$ ($\angle CAO = \angle DBO$), так как они являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $AB$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $\triangle AOC \cong \triangle BOD$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $CO$ в $\triangle AOC$ соответствует стороне $OD$ в $\triangle BOD$. Значит, $CO = OD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $CO = OD$ доказано. Для этого мы рассмотрели треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ и установили их равенство по второму признаку (по стороне $AO=BO$ и двум прилежащим углам $\angle AOC = \angle BOD$ и $\angle CAO = \angle DBO$).

15.15. Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Для доказательства данного утверждения введем обозначения и выполним построение, как показано на рисунке ниже.

Дано:
Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Прямая $c$ — секущая, пересекающая прямую $a$ в точке $A$ и прямую $b$ в точке $B$.
$\angle 1$ и $\angle 2$ — внутренние накрест лежащие углы.
Прямая $m$ — биссектриса угла $\angle 1$.
Прямая $n$ — биссектриса угла $\angle 2$.

Доказать:
Прямые $m$ и $n$ параллельны ($m \parallel n$).

Доказательство:
1. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$, равны. Таким образом, $\angle 1 = \angle 2$.

2. Прямая $m$ является биссектрисой угла $\angle 1$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Обозначим угол, образованный биссектрисой $m$ и секущей $c$, как $\alpha$. Этот угол является внутренним накрест лежащим по отношению к прямой $n$ и секущей $c$. Величина этого угла равна половине величины угла $\angle 1$: $\alpha = \frac{1}{2}\angle 1$.

3. Аналогично, прямая $n$ является биссектрисой угла $\angle 2$. Обозначим угол, образованный биссектрисой $n$ и секущей $c$, как $\beta$. Этот угол также является внутренним накрест лежащим по отношению к прямой $m$ и секущей $c$. Его величина равна половине величины угла $\angle 2$: $\beta = \frac{1}{2}\angle 2$.

4. Сравним величины углов $\alpha$ и $\beta$. Так как из пункта 1 мы знаем, что $\angle 1 = \angle 2$, то равны и их половины: $$ \frac{1}{2}\angle 1 = \frac{1}{2}\angle 2 $$ Следовательно, $\alpha = \beta$.

5. Мы рассматриваем прямые $m$ и $n$ и секущую $c$. Внутренние накрест лежащие углы $\alpha$ и $\beta$ при этих прямых и секущей равны. Согласно признаку параллельности двух прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Таким образом, $m \parallel n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и секущей, параллельны.