Страница 92 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.33. Один острый угол прямоугольного треугольника равен $30^\circ$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла (рис. 16.17).

Рис. 16.17

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Из вершины $C$ проведены высота $CH$ (где $H$ лежит на гипотенузе $AB$) и биссектриса $CD$ (где $D$ лежит на гипотенузе $AB$). Нам нужно найти величину угла $\angle DCH$.

По условию задачи, один из острых углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$. Пусть $\angle B = 30^\circ$.

Сумма углов треугольника составляет $180^\circ$. Так как $\triangle ABC$ прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$), то сумма его острых углов равна $90^\circ$. Таким образом, второй острый угол:
$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

$CD$ является биссектрисой прямого угла $\angle C$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:
$\angle ACD = \angle BCD = \frac{\angle C}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHB$, который образован высотой $CH$. В нем $\angle CHB = 90^\circ$. Сумма острых углов этого треугольника также равна $90^\circ$:
$\angle BCH + \angle B = 90^\circ$
Отсюда находим угол $\angle BCH$:
$\angle BCH = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Искомый угол $\angle DCH$ находится между высотой $CH$ и биссектрисой $CD$. Его можно вычислить как разность между углами $\angle BCH$ и $\angle BCD$:
$\angle DCH = \angle BCH - \angle BCD = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$.

Примечание: Если бы мы изначально выбрали $\angle A = 30^\circ$, то получили бы $\angle ACH = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Тогда искомый угол был бы равен $\angle DCH = \angle ACH - \angle ACD = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$. Результат не зависит от того, какой из двух острых углов равен $30^\circ$.

Ответ: $15^\circ$

16.34. Острый угол $A$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $30^\circ$. Гипотенуза $AB = 12$ см. Найдите проекцию катета $BC$ на гипотенузу.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол при вершине $C$ является прямым ($\angle C = 90^\circ$). Согласно условию задачи, острый угол $\angle A = 30^\circ$, а длина гипотенузы $AB = 12$ см.

Проекцией катета $BC$ на гипотенузу $AB$ является отрезок $HB$, где $H$ — это основание высоты, опущенной из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB$.

Для нахождения длины проекции $HB$ выполним следующие шаги:

1. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $BC$ лежит напротив угла $\angle A = 30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы:

$BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.

2. Найдем второй острый угол треугольника $ABC$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, следовательно:

$\angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

3. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$ (угол $\angle BHC = 90^\circ$, так как $CH$ — высота). В этом треугольнике нам известна гипотенуза $BC = 6$ см и прилежащий к искомому катету $HB$ угол $\angle B = 60^\circ$.

4. По определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике, отношение прилежащего катета к гипотенузе равно косинусу этого угла:

$\cos(\angle B) = \frac{HB}{BC}$

Отсюда выражаем длину $HB$:

$HB = BC \cdot \cos(\angle B) = 6 \cdot \cos(60^\circ)$.

Так как значение $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$HB = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Таким образом, длина проекции катета $BC$ на гипотенузу равна 3 см.

Ответ: 3 см.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

16.35. Изобразите какой-нибудь треугольник. С помощью линейки измерьте его стороны. Верно ли, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон и больше их разности?

Изобразим произвольный треугольник и измерим его стороны с помощью линейки. Пусть у нас получился треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$.

Предположим, что измерения дали следующие результаты: $a = 4$ см, $b = 5$ см, $c = 6$ см. Теперь проверим, верно ли утверждение из вопроса для каждой из сторон.

Рассмотрим сторону $a = 4$ см. Сумма двух других сторон равна $b + c = 5 + 6 = 11$ см. Разность двух других сторон равна $|b - c| = |5 - 6| = 1$ см. Мы видим, что $1 < 4 < 11$, то есть сторона $a$ больше разности и меньше суммы двух других сторон.

Теперь рассмотрим сторону $b = 5$ см. Сумма двух других сторон: $a + c = 4 + 6 = 10$ см. Их разность: $|a - c| = |4 - 6| = 2$ см. Получаем, что $2 < 5 < 10$, что также соответствует проверяемому утверждению.

Наконец, рассмотрим сторону $c = 6$ см. Сумма двух других сторон: $a + b = 4 + 5 = 9$ см. Их разность: $|a - b| = |4 - 5| = 1$ см. В этом случае мы тоже видим, что $1 < 6 < 9$.

Наш эксперимент показывает, что для данного конкретного треугольника утверждение верно. Это фундаментальное свойство всех треугольников, известное как неравенство треугольника. Оно гласит, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон. Из этого следует и то, что любая сторона больше модуля разности двух других.

Ответ: Да, верно. Каждая сторона любого треугольника всегда меньше суммы двух других его сторон и больше модуля их разности. Для треугольника со сторонами $a, b, c$ всегда выполняются три неравенства: $|b-c| < a < b+c$, $|a-c| < b < a+c$ и $|a-b| < c < a+b$.