Номер 16.33, страница 92 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.33. Один острый угол прямоугольного треугольника равен $30^\circ$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла (рис. 16.17).

Рис. 16.17

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Из вершины $C$ проведены высота $CH$ (где $H$ лежит на гипотенузе $AB$) и биссектриса $CD$ (где $D$ лежит на гипотенузе $AB$). Нам нужно найти величину угла $\angle DCH$.

По условию задачи, один из острых углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$. Пусть $\angle B = 30^\circ$.

Сумма углов треугольника составляет $180^\circ$. Так как $\triangle ABC$ прямоугольный ($\angle C = 90^\circ$), то сумма его острых углов равна $90^\circ$. Таким образом, второй острый угол:
$\angle A = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

$CD$ является биссектрисой прямого угла $\angle C$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам:
$\angle ACD = \angle BCD = \frac{\angle C}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHB$, который образован высотой $CH$. В нем $\angle CHB = 90^\circ$. Сумма острых углов этого треугольника также равна $90^\circ$:
$\angle BCH + \angle B = 90^\circ$
Отсюда находим угол $\angle BCH$:
$\angle BCH = 90^\circ - \angle B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Искомый угол $\angle DCH$ находится между высотой $CH$ и биссектрисой $CD$. Его можно вычислить как разность между углами $\angle BCH$ и $\angle BCD$:
$\angle DCH = \angle BCH - \angle BCD = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$.

Примечание: Если бы мы изначально выбрали $\angle A = 30^\circ$, то получили бы $\angle ACH = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Тогда искомый угол был бы равен $\angle DCH = \angle ACH - \angle ACD = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$. Результат не зависит от того, какой из двух острых углов равен $30^\circ$.

Ответ: $15^\circ$