Номер 16.31, страница 91 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

пересекающихся в точке C (рис. 16.11). Най

16.31. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.

16.32. ... $54^\circ$ $66^\circ$ Н

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Острыми углами этого треугольника являются $\angle A$ и $\angle B$. Обозначим их величины как $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника $ABC$ имеем:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.Подставив значение прямого угла, получим:$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$.Отсюда следует, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна:$\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Проведем биссектрисы острых углов $\angle A$ и $\angle B$. Пусть они пересекаются в точке $O$, как показано на рисунке.

Рассмотрим треугольник $AOB$, образованный отрезками биссектрис и стороной $AB$. Углы этого треугольника равны:$\angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{\alpha}{2}$ (так как $AO$ — биссектриса угла $A$),$\angle OBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{\beta}{2}$ (так как $BO$ — биссектриса угла $B$).Сумма углов в треугольнике $AOB$ также равна $180^\circ$:$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.

Подставим известные соотношения в это равенство:$\angle AOB + \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 180^\circ$,$\angle AOB + \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ$.Мы уже установили, что $\alpha + \beta = 90^\circ$. Подставим это значение в уравнение:$\angle AOB + \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ$,$\angle AOB + 45^\circ = 180^\circ$,$\angle AOB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Полученный угол $\angle AOB = 135^\circ$ является одним из углов между биссектрисами. Этот угол тупой. При пересечении двух прямых образуются два смежных угла, сумма которых равна $180^\circ$. Острый угол, который требуется найти в задаче, будет равен:$180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.Таким образом, острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника всегда равен $45^\circ$, независимо от величин самих острых углов.

Ответ: $45^\circ$.