Номер 16.32, страница 91 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.32. Два угла треугольника равны $54^\circ$ и $66^\circ$. Найдите острый угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов (рис. 16.16).

Пусть дан треугольник ABC, в котором известны два угла, например, $ \angle A = 54^\circ $ и $ \angle B = 66^\circ $. Из вершин этих углов проведены высоты AG и BH, которые пересекаются в точке O, как показано на рисунке. Необходимо найти острый угол, образованный при пересечении этих высот.

Сначала найдем третий угол треугольника, $ \angle C $. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.$ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (54^\circ + 66^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Теперь рассмотрим четырехугольник CHOG. По определению высоты, $ AG \perp BC $ и $ BH \perp AC $. Это означает, что $ \angle AGC = 90^\circ $ и $ \angle BHC = 90^\circ $. Таким образом, в четырехугольнике CHOG нам известны три угла:

1. $ \angle GCH $, который является углом $ \angle C $ треугольника, равен $60^\circ$.

2. $ \angle OGC $ (часть угла $ \angle AGC $) равен $90^\circ$.

3. $ \angle OHC $ (часть угла $ \angle BHC $) равен $90^\circ$.

Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника CHOG запишем:$ \angle HOG + \angle OGC + \angle GCH + \angle CHO = 360^\circ $

Подставим известные значения в уравнение:$ \angle HOG + 90^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 360^\circ $$ \angle HOG + 240^\circ = 360^\circ $$ \angle HOG = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ $.

Угол $ \angle HOG $ является одним из углов, образованных при пересечении высот. Так как $120^\circ > 90^\circ$, это тупой угол. Искомый острый угол является смежным с углом $ \angle HOG $. Например, угол $ \angle AOH $ и $ \angle HOG $ вместе образуют развернутый угол вдоль прямой AG, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$ \angle AOH = 180^\circ - \angle HOG = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Таким образом, острый угол, образованный высотами, равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.