Номер 17.2, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.2. Могут ли стороны треугольника относиться как:

а) $1 : 2 : 3$;

б) $2 : 3 : 6$;

в) $1 : 1 : 2$?

Для решения этой задачи воспользуемся неравенством треугольника. Оно гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника всегда больше длины третьей (оставшейся) стороны. Если обозначить стороны как $a$, $b$ и $c$, то должны выполняться три неравенства: $a+b>c$, $a+c>b$ и $b+c>a$. На практике достаточно проверить только одно условие: сумма двух меньших сторон должна быть больше наибольшей стороны.

а) 1 : 2 : 3

Пусть стороны треугольника пропорциональны данным числам, то есть их длины равны $k$, $2k$ и $3k$, где $k$ — некоторый положительный коэффициент пропорциональности.

Наибольшая сторона равна $3k$. Две другие стороны — $k$ и $2k$.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника для этих сторон. Сложим длины двух меньших сторон и сравним с длиной наибольшей:

$k + 2k > 3k$

$3k > 3k$

Данное неравенство является неверным, так как $3k$ равно $3k$, а не строго больше. Это означает, что такой треугольник является вырожденным, то есть все его вершины лежат на одной прямой. Следовательно, невырожденный треугольник с таким соотношением сторон существовать не может.
Ответ: нет.

б) 2 : 3 : 6

Пусть стороны треугольника равны $2k$, $3k$ и $6k$, где $k > 0$.

Наибольшая сторона равна $6k$. Две другие стороны — $2k$ и $3k$.

Проверим неравенство треугольника, сложив две меньшие стороны:

$2k + 3k > 6k$

$5k > 6k$

Это неравенство неверно для любого положительного $k$ (если разделить обе части на $k$, получим $5 > 6$, что ложно). Таким образом, треугольник с таким соотношением сторон не может существовать.
Ответ: нет.

в) 1 : 1 : 2

Пусть стороны треугольника равны $k$, $k$ и $2k$, где $k > 0$.

Наибольшая сторона равна $2k$. Две другие стороны равны по $k$.

Проверим неравенство треугольника для этих сторон:

$k + k > 2k$

$2k > 2k$

Это неравенство также является неверным, поскольку $2k$ равно $2k$. Как и в случае (а), это вырожденный треугольник, у которого вершины лежат на одной прямой. Следовательно, невырожденный треугольник с таким соотношением сторон существовать не может.
Ответ: нет.