Номер 17.7, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.7. Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Одна из сторон больше другой в два раза. Найдите длину сторон этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые стороны), а третья сторона (основание) может отличаться от них по длине. Обозначим длину боковой стороны как $a$, а длину основания как $b$. Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон: $P = a + a + b = 2a + b$.

По условию, периметр равен 20 см, то есть $2a + b = 20$. Также известно, что одна из сторон в два раза больше другой. Это приводит к двум возможным случаям.

Случай 1: Боковая сторона в два раза больше основания.

В этом случае $a = 2b$. Подставим это соотношение в формулу периметра:

$2 \cdot (2b) + b = 20$

$4b + b = 20$

$5b = 20$

$b = 4$ см.

Тогда длина боковой стороны $a = 2b = 2 \cdot 4 = 8$ см.Таким образом, стороны треугольника равны 8 см, 8 см и 4 см.Проверим, выполняется ли неравенство треугольника (сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей стороны):

$8 + 8 > 4$ (верно, $16 > 4$)

$8 + 4 > 8$ (верно, $12 > 8$)

Так как неравенство треугольника выполняется, такой треугольник существует.

Случай 2: Основание в два раза больше боковой стороны.

В этом случае $b = 2a$. Подставим это соотношение в формулу периметра:

$2a + (2a) = 20$

$4a = 20$

$a = 5$ см.

Тогда длина основания $b = 2a = 2 \cdot 5 = 10$ см.Таким образом, стороны треугольника равны 5 см, 5 см и 10 см.Проверим, выполняется ли неравенство треугольника:

$5 + 5 > 10$ (неверно, так как $10 = 10$)

Поскольку неравенство треугольника не выполняется, треугольник с такими сторонами не может существовать (его вершины лежали бы на одной прямой).

Следовательно, верным является только первый случай.

Ответ: длины сторон треугольника равны 8 см, 8 см и 4 см.