Номер 17.11, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.11. Докажите, что сумма расстояний от любой внутренней точки треугольника до его вершин больше его полупериметра.

17.12. Докажите, что медиана треугольника может

Пусть дан треугольник ABC со сторонами a, b, c, где $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$. Его полупериметр $p$ равен $p = \frac{a+b+c}{2}$. Пусть M — произвольная точка, расположенная внутри треугольника ABC. Требуется доказать, что сумма расстояний от точки M до вершин треугольника больше его полупериметра, то есть $MA + MB + MC > p$.

Рассмотрим три треугольника, образованных точкой M и вершинами исходного треугольника: $\triangle AMB$, $\triangle BMC$ и $\triangle CMA$. Применим к каждому из них неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны.

Для треугольника $\triangle BMC$ справедливо неравенство: $MB + MC > BC = a$.
Для треугольника $\triangle CMA$ справедливо неравенство: $MC + MA > AC = b$.
Для треугольника $\triangle AMB$ справедливо неравенство: $MA + MB > AB = c$.

Сложим почленно эти три неравенства:

$(MB + MC) + (MC + MA) + (MA + MB) > a + b + c$

После приведения подобных слагаемых в левой части получим:

$2 \cdot MA + 2 \cdot MB + 2 \cdot MC > a + b + c$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(MA + MB + MC) > a + b + c$

Разделив обе части неравенства на 2, приходим к требуемому результату:

$MA + MB + MC > \frac{a+b+c}{2}$

Так как полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$, то мы доказали, что $MA + MB + MC > p$. Таким образом, сумма расстояний от любой внутренней точки треугольника до его вершин больше его полупериметра. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.