Номер 17.13, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.13. Дана прямая $c$ и две точки $A$ и $B$, лежащие от нее по одну сторону (рис. 17.7). Постройте такую точку $C$ на прямой $c$, для которой разность расстояний $AC - CB$ наибольшая.

Рис. 17.7

Для нахождения точки C на прямой c, для которой разность расстояний $AC - CB$ наибольшая, воспользуемся неравенством треугольника. Для любых трех точек A, B и C', которые не лежат на одной прямой, справедливо строгое неравенство: разность длин двух сторон треугольника меньше длины третьей стороны. В нашем случае, для треугольника ABC' имеем $AC' - C'B < AB$.

Равенство $AC - CB = AB$ достигается только в том случае, когда точки A, B и C лежат на одной прямой, причем точка B находится между точками A и C. В этом случае разность $AC - CB$ достигает своего максимально возможного значения, равного длине отрезка AB.

Таким образом, чтобы максимизировать разность $AC - CB$, искомая точка C должна быть точкой пересечения прямой, проходящей через точки A и B, с данной прямой c.

Построение

1. С помощью линейки проведите прямую через точки A и B.

2. Продолжите эту прямую до пересечения с прямой c.

3. Точка пересечения и будет искомой точкой C.

Доказательство

Пусть C — точка, построенная выше, то есть точка пересечения прямой AB и прямой c. По построению, точки A, B и C лежат на одной прямой. Так как точки A и B находятся по одну сторону от прямой c, точка C не может лежать между A и B. В зависимости от расположения A и B, либо B лежит между A и C, либо A лежит между B и C. Мы ищем максимум для $AC - CB$. Этот максимум будет положительным, если AC > CB, что соответствует случаю, когда B находится между A и C. В этом случае, длина отрезка $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$, то есть $AC = AB + BC$.

Тогда разность расстояний равна: $AC - BC = (AB + BC) - BC = AB$.

Теперь выберем на прямой c любую другую точку C', не совпадающую с C. Точки A, B и C' образуют невырожденный треугольник. По неравенству треугольника для $ \triangle ABC' $: $AC' < AB + BC'$.

Перенеся $BC'$ в левую часть, получим: $AC' - BC' < AB$.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что $AC - BC = AB$, а для любой другой точки $C'$ на прямой c выполняется $AC' - BC' < AB$. Следовательно, построенная точка C действительно обеспечивает наибольшую возможную разность расстояний.

Ответ: Искомая точка C — это точка пересечения прямой, проходящей через точки A и B, с прямой c.