Номер 17.10, страница 96 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

Вилы его периметра.

17.10. Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра.

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон как $a, b, c$, где $a = BC$, $b = AC$ и $c = AB$. Проведем медиану $AM$ из вершины $A$ к стороне $BC$. Обозначим длину этой медианы как $m_a$. Полупериметр треугольника $p$ равен $p = \frac{a+b+c}{2}$. Нам необходимо доказать, что $m_a < p$, то есть $m_a < \frac{a+b+c}{2}$.

Для доказательства воспользуемся методом достроения треугольника до параллелограмма.

1. На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MD$, равный по длине медиане $AM$. Таким образом, $AD = AM + MD = 2AM = 2m_a$.

2. Соединим точку $D$ с вершинами $B$ и $C$. Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По определению медианы, $M$ — середина стороны $BC$ ($BM = MC$). По нашему построению, $M$ — середина отрезка $AD$ ($AM = MD$).

3. Поскольку диагонали четырехугольника $ABDC$ точкой пересечения делятся пополам, этот четырехугольник является параллелограммом.

4. Основное свойство параллелограмма — равенство противолежащих сторон. Отсюда следует, что $CD = AB = c$ и $BD = AC = b$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Применим это правило к стороне $AD$:$AD < AC + CD$

6. Подставим в это неравенство длины отрезков, выраженные через стороны и медиану исходного треугольника $ABC$:$2m_a < b + c$

7. Мы доказали, что удвоенная медиана меньше суммы двух прилежащих к ней сторон. Теперь вернемся к основной задаче. Длина стороны $a$ является положительной величиной ($a > 0$), поэтому очевидно, что $b+c < a+b+c$.

8. Объединяя результаты, получаем цепочку неравенств: $2m_a < b+c$ и $b+c < a+b+c$. Отсюда напрямую следует, что:$2m_a < a+b+c$

9. Разделив обе части этого неравенства на 2, мы получаем искомое соотношение:$m_a < \frac{a+b+c}{2}$

Таким образом, доказано, что любая медиана треугольника строго меньше его полупериметра.

Ответ: Утверждение доказано. Используя метод достроения до параллелограмма и свойство неравенства треугольника, мы показали, что медиана треугольника ($m_a$) всегда меньше его полупериметра ($\frac{a+b+c}{2}$).