Номер 17.5, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

17.5. Группа туристов должна попасть из пункта $A$ в пункт $B$ (рис. 17.5). Из $A$ в $B$ несколько дорог. Какая из них быстрее приведет к цели, если скорость движения по любой из дорог одна и та же. Объясните ответ.

Рис. 17.5

Чтобы определить, какая из дорог быстрее приведёт к цели, нужно сравнить время, затрачиваемое на каждый возможный маршрут. Время движения $t$ связано с расстоянием $s$ и скоростью $v$ формулой $t = \frac{s}{v}$. По условию задачи, скорость движения $v$ на всех дорогах одинакова. Это значит, что время в пути прямо пропорционально пройденному расстоянию. Следовательно, самый быстрый путь — это путь с наименьшей длиной. Задача сводится к нахождению самого короткого маршрута из пункта А в пункт В.

На рисунке показаны различные пути из А в В. Существует прямой путь, представленный отрезком АВ, и обходные пути, которые проходят через одну или несколько промежуточных точек (например, путь А-С-В или А-Е-В).

Согласно основному свойству геометрии, известному как неравенство треугольника, кратчайшее расстояние между двумя точками на плоскости — это длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Любой другой путь, состоящий из ломаной линии, будет длиннее.

Рассмотрим, например, путь через точку С (А-С-В). Точки А, В и С образуют треугольник АСВ. Для любого треугольника длина одной его стороны всегда меньше суммы длин двух других сторон. Таким образом, для треугольника АСВ справедливо неравенство: $AB < AC + CB$. Это означает, что длина прямого пути АВ меньше, чем длина обходного пути АСВ.

Аналогичное рассуждение применимо ко всем другим обходным маршрутам. Например, для пути А-Е-В, состоящего из отрезков АЕ и ЕВ, из треугольника АЕВ следует, что $AB < AE + EB$. Любой путь из А в В, проходящий через промежуточные точки, будет представлять собой ломаную линию, длина которой всегда больше длины прямого отрезка АВ.

Поскольку прямая дорога из А в В является самым коротким маршрутом, а скорость движения постоянна, то именно этот путь будет самым быстрым.

Ответ: Быстрее всего приведет к цели прямая дорога из пункта А в пункт В.