Вопросы, страница 95 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В чем заключается неравенство треугольника?

2. Что можно сказать о разности двух сторон треугольника?

3. Что можно сказать о точке C, для которой выполняется равенство $AC + CB = AB$?

1. В чем заключается неравенство треугольника?

Неравенство треугольника — это фундаментальная теорема в геометрии, которая устанавливает соотношение между длинами сторон любого треугольника. Она гласит, что длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.
Для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ должны одновременно выполняться три неравенства:
$a < b + c$
$b < a + c$
$c < a + b$
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то треугольник с такими сторонами существовать не может. Например, не существует треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 8 см, потому что $3 + 4 = 7$, а $7 < 8$. Сумма двух сторон оказалась меньше третьей, что противоречит неравенству треугольника.
Ответ: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

2. Что можно сказать о разности двух сторон треугольника?

Из неравенства треугольника вытекает важное следствие, касающееся разности длин двух сторон. Разность длин любых двух сторон треугольника всегда меньше длины третьей стороны.
Это можно доказать, преобразовав исходные неравенства. Например, из неравенства $a < b + c$ следует, что $a - b < c$. Аналогично, из неравенства $b < a + c$ следует, что $b - a < c$. Если умножить обе части последнего неравенства на -1, то знак неравенства изменится: $a - b > -c$.
Объединяя результаты ($a - b < c$ и $a - b > -c$), мы получаем двойное неравенство: $-c < a - b < c$. Это эквивалентно записи с использованием модуля:
$|a - b| < c$
Аналогично можно показать для других пар сторон:
$|a - c| < b$
$|b - c| < a$
Таким образом, любая сторона треугольника больше модуля разности двух других его сторон.
Ответ: Разность двух любых сторон треугольника всегда меньше третьей стороны.

3. Что можно сказать о точке C, для которой выполняется равенство AC + CB = AB?

Равенство $AC + CB = AB$, где $AC$, $CB$ и $AB$ — это расстояния между точками A, C и B, является предельным случаем неравенства треугольника, которое в общем виде записывается как $AC + CB \ge AB$ для любых трех точек.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда все три точки лежат на одной прямой (коллинеарны), и при этом точка С находится между точками А и В. Иными словами, точка С принадлежит отрезку AB.

Если бы точка C не лежала на отрезке AB, то точки A, B, C образовывали бы невырожденный треугольник, и для них выполнялось бы строгое неравенство $AC + CB > AB$, так как кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка прямой, соединяющего их.
Ответ: Точка C лежит на отрезке AB, то есть принадлежит прямой, проходящей через точки A и B, и находится между ними.