Номер 16.30, страница 91 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.30. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60^\circ$, $AD$ и $BE$ — биссектрисы, пересекающиеся в точке $O$ (рис. 16.15). Найдите угол $AOB$.

Рис. 16.15

Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle CAB + \angle CBA + \angle C = 180^\circ$.

По условию задачи угол $C$ равен $60^\circ$. Подставив это значение, получим:

$\angle CAB + \angle CBA + 60^\circ = 180^\circ$

Отсюда можем найти сумму углов $A$ и $B$ треугольника $ABC$:

$\angle CAB + \angle CBA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Отрезки $AD$ и $BE$ являются биссектрисами углов $CAB$ и $CBA$ соответственно. Точка $O$ — это точка их пересечения. По определению биссектрисы, она делит угол пополам. Следовательно, для углов треугольника $AOB$ мы можем записать:

$\angle OAB = \frac{1}{2} \angle CAB$

$\angle OBA = \frac{1}{2} \angle CBA$

Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма его углов также равна $180^\circ$:

$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$

Подставим в это равенство выражения для углов $\angle OAB$ и $\angle OBA$:

$\angle AOB + \frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle CBA = 180^\circ$

Вынесем множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle AOB + \frac{1}{2} (\angle CAB + \angle CBA) = 180^\circ$

Мы ранее вычислили, что сумма $\angle CAB + \angle CBA = 120^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$\angle AOB + \frac{1}{2} (120^\circ) = 180^\circ$

$\angle AOB + 60^\circ = 180^\circ$

Наконец, находим искомый угол $AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.