Номер 16.23, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.23. Найдите сумму острых углов произвольной пятиконечной звездочки (рис. 16.9).

Рис. 16.9

Для нахождения суммы острых углов произвольной пятиконечной звездочки, обозначим эти углы как $∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5$.

Рассмотрим пятиконечную звездочку как фигуру, состоящую из пяти треугольников по ее концам и одного пятиугольника в центре. Обозначим искомый сумму углов как $S = ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5$.

Способ 1: Использование суммы углов треугольников и пятиугольника.

1. Внутренние пересечения линий звезды образуют в центре выпуклый пятиугольник. Сумма внутренних углов любого выпуклого пятиугольника равна $(5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$. Обозначим эти углы как $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5$. Итак, $\sum_{i=1}^{5} p_i = 540^\circ$.

2. В каждой вершине внутреннего пятиугольника пересекаются две линии звезды. Эти линии образуют две пары вертикальных углов. Одна пара — это внутренний угол пятиугольника $p_i$ и равный ему угол. Другая пара — это углы, которые являются базовыми углами для треугольников на концах звезды. Обозначим эти углы как $y_i$. Поскольку сумма углов, образованных пересечением двух прямых, равна $360^\circ$, то $2p_i + 2y_i = 360^\circ$, откуда следует, что $p_i + y_i = 180^\circ$.

3. Просуммируем это соотношение для всех пяти вершин пятиугольника:$ (p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5) + (y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5) = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ $Зная, что сумма углов $p_i$ равна $540^\circ$, находим сумму углов $y_i$:$ 540^\circ + \sum_{i=1}^{5} y_i = 900^\circ $$ \sum_{i=1}^{5} y_i = 900^\circ - 540^\circ = 360^\circ $.

4. Теперь рассмотрим пять треугольников, образующих концы звезды. Сумма углов в каждом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника с углом $∠1$ два других угла при основании являются вертикальными к некоторым двум углам из набора $y_i$. Просуммировав углы всех пяти треугольников, мы получим:$ (∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5) + \text{(сумма всех 10 углов при основаниях)} = 5 \cdot 180^\circ = 900^\circ $.Каждый угол $y_i$ является углом при основании для двух разных треугольников. Следовательно, сумма всех 10 углов при основаниях равна $2 \cdot (y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5) = 2 \cdot \sum y_i$.

5. Подставляем известные значения в уравнение:$ S + 2 \cdot \sum_{i=1}^{5} y_i = 900^\circ $$ S + 2 \cdot 360^\circ = 900^\circ $$ S + 720^\circ = 900^\circ $$ S = 900^\circ - 720^\circ = 180^\circ $.

Способ 2: Использование теоремы о внешнем угле треугольника.

1. Рассмотрим треугольник с вершиной в угле $∠1$. Его сторонами являются отрезки линий звезды. Два других угла этого треугольника лежат на одной из линий звезды. Назовем этот треугольник $T_1$, а его вершины $A, B, C$, где $∠A = ∠1$.

2. Сумма углов в $T_1$: $∠1 + ∠B + ∠C = 180^\circ$.

3. Угол $∠B$ является внешним углом для треугольника, образующего "луч" звезды с углом $∠3$. Следовательно, $∠B = ∠3 + (\text{третий угол этого треугольника})$. Аналогично, угол $∠C$ является внешним углом для треугольника с углом $∠5$.

4. Если аккуратно проследить по фигуре, можно составить систему уравнений. Проще всего рассмотреть большой треугольник, включающий в себя угол $∠1$, а два других его угла выразить через внешние углы треугольников с углами $∠3$ и $∠4$. Пусть вершины звезды $V_1, V_2, V_3, V_4, V_5$. Рассмотрим треугольник, образованный вершиной $V_1$ и точками пересечения на противоположной стороне $V_3V_4$. Пусть это $\triangle V_1 P Q$. Тогда $∠V_1 + ∠V_1PQ + ∠V_1QP = 180^\circ$. Угол $\angle V_1PQ$ является внешним для треугольника с вершиной $V_3$, а $\angle V_1QP$ — внешним для треугольника с вершиной $V_4$. Сумма двух углов при основании треугольника с вершиной $V_2$ равна углу $\angle P V_1 Q$. Объединяя эти соотношения, можно показать, что сумма всех пяти углов равна $180^\circ$.

Оба метода показывают, что сумма острых углов произвольной пятиконечной звездочки не зависит от ее формы и всегда постоянна.

Ответ: $180^\circ$.