Номер 16.21, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.21. Докажите, что если один из углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, то катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы.

Дано: Прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$ и один из острых углов, например $\angle A$, равен $30^\circ$.

Доказать: Катет $BC$, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы $AB$, то есть $BC = \frac{1}{2} AB$.

Доказательство:

Рассмотрим данный прямоугольный треугольник $ABC$. Построим треугольник $ADC$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно прямой $AC$. Так как осевая симметрия является движением, то треугольник $ADC$ равен треугольнику $ABC$.

Рассмотрим получившийся в результате построения треугольник $ABD$.

Из равенства треугольников $ABC$ и $ADC$ следует равенство их соответствующих сторон и углов:

1. $AB = AD$.

2. $\angle DAC = \angle BAC = 30^\circ$.

Найдем угол $\angle BAD$ треугольника $ABD$:

$\angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.

Так как в треугольнике $ABD$ две стороны равны ($AB=AD$), он является равнобедренным. А поскольку угол между этими равными сторонами ($\angle BAD$) равен $60^\circ$, то треугольник $ABD$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все стороны равны, то есть $AB = BD = AD$.

Также в равностороннем треугольнике высота, проведенная из любой вершины, является также медианой и биссектрисой. В треугольнике $ABD$ отрезок $AC$ является высотой, так как $\angle ACB=90^\circ$. Следовательно, $AC$ является и медианой, делящей сторону $BD$ пополам в точке $C$.

Таким образом, $BC = \frac{1}{2} BD$.

Поскольку $BD = AB$ (как стороны равностороннего треугольника), мы можем заменить $BD$ на $AB$ в предыдущем равенстве:

$BC = \frac{1}{2} AB$.

Утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что если один из углов прямоугольного треугольника равен $30^\circ$, то катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы.