Номер 16.20, страница 90 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.20. Найдите сумму всех трех внешних углов треугольника по одному при каждой вершине.

Для нахождения суммы внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, рассмотрим треугольник с внутренними углами $α$, $β$ и $γ$. Внешний угол при каждой вершине является смежным с внутренним углом, а сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Способ 1.

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$:

$α + β + γ = 180^\circ$

Обозначим внешние углы, соответствующие внутренним углам $α$, $β$ и $γ$, как $α'$, $β'$ и $γ'$. Поскольку внешний и внутренний углы при одной вершине являются смежными, их сумма равна $180^\circ$:

$α' = 180^\circ - α$

$β' = 180^\circ - β$

$γ' = 180^\circ - γ$

Чтобы найти сумму всех трех внешних углов, сложим эти три равенства:

$S_{внешн.} = α' + β' + γ' = (180^\circ - α) + (180^\circ - β) + (180^\circ - γ)$

Сгруппируем слагаемые:

$S_{внешн.} = (180^\circ + 180^\circ + 180^\circ) - (α + β + γ)$

$S_{внешн.} = 540^\circ - (α + β + γ)$

Подставим известное значение суммы внутренних углов ($180^\circ$):

$S_{внешн.} = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ$

Способ 2.

Воспользуемся теоремой о внешнем угле треугольника, которая гласит, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

$α' = β + γ$

$β' = α + γ$

$γ' = α + β$

Сложим все внешние углы:

$S_{внешн.} = α' + β' + γ' = (β + γ) + (α + γ) + (α + β)$

Сгруппировав слагаемые, получим удвоенную сумму внутренних углов треугольника:

$S_{внешн.} = 2α + 2β + 2γ = 2(α + β + γ)$

Так как сумма внутренних углов треугольника $α + β + γ = 180^\circ$, то:

$S_{внешн.} = 2 \cdot 180^\circ = 360^\circ$

Оба способа показывают, что сумма внешних углов треугольника, взятых по одному при каждой вершине, постоянна и не зависит от формы треугольника.

Ответ: $360^\circ$.