Номер 16.16, страница 89 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.16. В треугольнике ABC ($AB = BC$) внешний угол при вершине B равен 138° (рис. 16.6). Найдите угол C.

Рис. 16.6

По условию задачи дан треугольник $ABC$, в котором стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а его основанием является сторона $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, угол $A$ равен углу $C$.

$ \angle BAC = \angle BCA $ (или $ \angle A = \angle C $)

Также известно, что внешний угол при вершине $B$ равен $138^\circ$.

Для нахождения угла $C$ можно использовать свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае, внешний угол при вершине $B$ равен сумме углов $A$ и $C$.

Составим уравнение на основе этого свойства:

Внешний $ \angle B = \angle A + \angle C $

Так как $ \angle A = \angle C $, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$ 138^\circ = \angle C + \angle C $

$ 138^\circ = 2 \cdot \angle C $

Из этого уравнения находим величину угла $C$:

$ \angle C = \frac{138^\circ}{2} $

$ \angle C = 69^\circ $

В качестве альтернативного способа можно сначала найти внутренний угол $B$. Так как внутренний и внешний углы при одной вершине смежные, их сумма равна $180^\circ$.

$ \angle ABC = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ $

Зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$ и что $ \angle A = \angle C $, имеем:

$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $

$ \angle C + 42^\circ + \angle C = 180^\circ $

$ 2 \cdot \angle C = 180^\circ - 42^\circ $

$ 2 \cdot \angle C = 138^\circ $

$ \angle C = 69^\circ $

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $69^\circ$.