Номер 16.9, страница 89 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.9. Вычислите неизвестные углы на каждом из рисунков (рис. 16.3).

а)

Треугольник $NMK$ с углом $N = 65^\circ$ и углом $K = ?$.

б)

Треугольник $ABC$ со сторонами $AC$ и $CB$ с одинаковыми отметками, углом $C = ?$, углом $A = ?$ и углом $B = ?$.

в)

Треугольник $EFG$ с углом $E = 100^\circ$, углом $G = 40^\circ$ и углом $F = ?$.

г)

Фигура с углом $C = 143^\circ$, углом $125^\circ$ возле точки $B$ на прямой $CF$, и углом $A = ?$.

Рис. 16.3

а)

В задаче для рисунка а), вероятно, предполагается, что треугольник $MNK$ является равнобедренным с основанием $MK$, так как в подобных задачах из учебников на сторонах $MN$ и $NK$ ставятся штрихи, обозначающие их равенство. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle M = \angle K$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $MNK$ имеем:$\angle M + \angle N + \angle K = 180^\circ$

Поскольку $\angle M = \angle K$ и $\angle N = 65^\circ$, мы можем записать:$2\angle K + 65^\circ = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение относительно $\angle K$:$2\angle K = 180^\circ - 65^\circ$$2\angle K = 115^\circ$$\angle K = \frac{115^\circ}{2} = 57.5^\circ$

Таким образом, неизвестный угол $\angle K$ равен $57.5^\circ$. Угол $\angle M$ также равен $57.5^\circ$.

Ответ: $\angle K = 57.5^\circ$, $\angle M = 57.5^\circ$.

б)

На рисунке б) изображен треугольник $ABC$, у которого все три стороны отмечены одинаковыми штрихами. Это означает, что все стороны равны: $AB = BC = CA$. Такой треугольник называется равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны. Пусть каждый угол равен $x$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$x + x + x = 180^\circ$$3x = 180^\circ$$x = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Следовательно, все три неизвестных угла равны $60^\circ$.

Ответ: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 60^\circ$.

в)

На рисунке в) изображен треугольник $EFG$. Угол $100^\circ$ является внешним углом при вершине $E$. Этот угол и внутренний угол треугольника $\angle FEG$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$\angle FEG + 100^\circ = 180^\circ$$\angle FEG = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

Теперь мы знаем два угла в треугольнике $EFG$: $\angle FEG = 80^\circ$ и $\angle EGF = 40^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол $\angle EFG$:$\angle EFG = 180^\circ - (\angle FEG + \angle EGF)$$\angle EFG = 180^\circ - (80^\circ + 40^\circ)$$\angle EFG = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Неизвестные углы треугольника: $\angle FEG$ и $\angle EFG$.

Ответ: Угол при вершине E равен $80^\circ$, угол при вершине F равен $60^\circ$.

г)

На рисунке г) дан треугольник $ABC$ и два его внешних угла.

1. Внешний угол при вершине $C$ равен $143^\circ$. Он смежен с внутренним углом $\angle ACB$. Их сумма равна $180^\circ$.$\angle ACB = 180^\circ - 143^\circ = 37^\circ$

2. Внешний угол при вершине $B$ равен $125^\circ$. Он смежен с внутренним углом $\angle ABC$. Их сумма равна $180^\circ$.$\angle ABC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$

3. Теперь, зная два внутренних угла треугольника ($\angle ACB = 37^\circ$ и $\angle ABC = 55^\circ$), мы можем найти третий угол $\angle BAC$ (обозначен знаком вопроса), используя теорему о сумме углов треугольника:$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$$\angle BAC + 55^\circ + 37^\circ = 180^\circ$$\angle BAC + 92^\circ = 180^\circ$$\angle BAC = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$

Ответ: $\angle A = 88^\circ$. (Также $\angle B = 55^\circ$, $\angle C = 37^\circ$).