Страница 89 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.7. В треугольнике ABC угол A равен $40^\circ$, $AC = BC$. Найдите угол C.

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны ($AC = BC$). Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а сторона $AB$ — его основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае это углы $\angle A$ и $\angle B$.

Поскольку нам известно, что $\angle A = 40^\circ$, то и угол $B$ будет равен $40^\circ$:

$\angle B = \angle A = 40^\circ$

Сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ справедливо следующее равенство:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Чтобы найти неизвестный угол $C$, подставим в это уравнение известные значения углов $A$ и $B$:

$40^\circ + 40^\circ + \angle C = 180^\circ$

$80^\circ + \angle C = 180^\circ$

Выразим $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - 80^\circ$

$\angle C = 100^\circ$

Ответ: $100^\circ$.

16.8. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $120^\circ$, $AC = BC$. Найдите угол $A$.

Согласно условию задачи, в треугольнике $ABC$ две стороны равны: $AC = BC$. Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. В данном случае треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Основное свойство равнобедренного треугольника заключается в том, что углы при его основании равны. Углами при основании $AB$ являются угол $A$ и угол $B$. Следовательно, $\angle A = \angle B$.

Сумма всех углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ справедливо следующее равенство:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Из условия нам известно, что $\angle C = 120^\circ$. Подставим известные значения в формулу суммы углов, а также заменим $\angle B$ на равный ему $\angle A$:
$\angle A + \angle A + 120^\circ = 180^\circ$.

Упростим полученное уравнение:
$2 \cdot \angle A + 120^\circ = 180^\circ$.

Теперь найдем величину угла $A$:
$2 \cdot \angle A = 180^\circ - 120^\circ$
$2 \cdot \angle A = 60^\circ$
$\angle A = \frac{60^\circ}{2}$
$\angle A = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.

16.9. Вычислите неизвестные углы на каждом из рисунков (рис. 16.3).

а)

Треугольник $NMK$ с углом $N = 65^\circ$ и углом $K = ?$.

б)

Треугольник $ABC$ со сторонами $AC$ и $CB$ с одинаковыми отметками, углом $C = ?$, углом $A = ?$ и углом $B = ?$.

в)

Треугольник $EFG$ с углом $E = 100^\circ$, углом $G = 40^\circ$ и углом $F = ?$.

г)

Фигура с углом $C = 143^\circ$, углом $125^\circ$ возле точки $B$ на прямой $CF$, и углом $A = ?$.

Рис. 16.3

а)

В задаче для рисунка а), вероятно, предполагается, что треугольник $MNK$ является равнобедренным с основанием $MK$, так как в подобных задачах из учебников на сторонах $MN$ и $NK$ ставятся штрихи, обозначающие их равенство. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle M = \angle K$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $MNK$ имеем:$\angle M + \angle N + \angle K = 180^\circ$

Поскольку $\angle M = \angle K$ и $\angle N = 65^\circ$, мы можем записать:$2\angle K + 65^\circ = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение относительно $\angle K$:$2\angle K = 180^\circ - 65^\circ$$2\angle K = 115^\circ$$\angle K = \frac{115^\circ}{2} = 57.5^\circ$

Таким образом, неизвестный угол $\angle K$ равен $57.5^\circ$. Угол $\angle M$ также равен $57.5^\circ$.

Ответ: $\angle K = 57.5^\circ$, $\angle M = 57.5^\circ$.

б)

На рисунке б) изображен треугольник $ABC$, у которого все три стороны отмечены одинаковыми штрихами. Это означает, что все стороны равны: $AB = BC = CA$. Такой треугольник называется равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны. Пусть каждый угол равен $x$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$x + x + x = 180^\circ$$3x = 180^\circ$$x = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Следовательно, все три неизвестных угла равны $60^\circ$.

Ответ: $\angle A = 60^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 60^\circ$.

в)

На рисунке в) изображен треугольник $EFG$. Угол $100^\circ$ является внешним углом при вершине $E$. Этот угол и внутренний угол треугольника $\angle FEG$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$\angle FEG + 100^\circ = 180^\circ$$\angle FEG = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$

Теперь мы знаем два угла в треугольнике $EFG$: $\angle FEG = 80^\circ$ и $\angle EGF = 40^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол $\angle EFG$:$\angle EFG = 180^\circ - (\angle FEG + \angle EGF)$$\angle EFG = 180^\circ - (80^\circ + 40^\circ)$$\angle EFG = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Неизвестные углы треугольника: $\angle FEG$ и $\angle EFG$.

Ответ: Угол при вершине E равен $80^\circ$, угол при вершине F равен $60^\circ$.

г)

На рисунке г) дан треугольник $ABC$ и два его внешних угла.

1. Внешний угол при вершине $C$ равен $143^\circ$. Он смежен с внутренним углом $\angle ACB$. Их сумма равна $180^\circ$.$\angle ACB = 180^\circ - 143^\circ = 37^\circ$

2. Внешний угол при вершине $B$ равен $125^\circ$. Он смежен с внутренним углом $\angle ABC$. Их сумма равна $180^\circ$.$\angle ABC = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$

3. Теперь, зная два внутренних угла треугольника ($\angle ACB = 37^\circ$ и $\angle ABC = 55^\circ$), мы можем найти третий угол $\angle BAC$ (обозначен знаком вопроса), используя теорему о сумме углов треугольника:$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$$\angle BAC + 55^\circ + 37^\circ = 180^\circ$$\angle BAC + 92^\circ = 180^\circ$$\angle BAC = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ$

Ответ: $\angle A = 88^\circ$. (Также $\angle B = 55^\circ$, $\angle C = 37^\circ$).

16.10. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98°. Найдите два других угла.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов любого треугольника всегда равна $180^\circ$. Рассмотрим два возможных случая для угла, равного $98^\circ$.

Случай 1: Угол $98^\circ$ является углом при основании треугольника.

В равнобедренном треугольнике два угла при основании равны. Если один из них равен $98^\circ$, то и второй угол при основании также должен быть равен $98^\circ$. Сумма этих двух углов составит:
$98^\circ + 98^\circ = 196^\circ$
Эта сумма уже превышает $180^\circ$, что невозможно для треугольника. Следовательно, угол при основании не может быть равен $98^\circ$.

Случай 2: Угол $98^\circ$ является углом при вершине треугольника (противолежащим основанию).

В этом случае два других угла (углы при основании) равны между собой. Обозначим каждый из этих равных углов как $x$. Сумма всех трех углов должна быть равна $180^\circ$. Составим уравнение:
$98^\circ + x + x = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение:
$98^\circ + 2x = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 98^\circ$
$2x = 82^\circ$
$x = \frac{82^\circ}{2}$
$x = 41^\circ$

Таким образом, два других угла равны по $41^\circ$ каждый. Этот вариант является единственно возможным.
Ответ: два других угла равны $41^\circ$ и $41^\circ$.

16.11. В равнобедренном треугольнике один угол на $90^{\circ}$ меньше другого угла. Найдите больший угол.

В равнобедренном треугольнике два угла равны. Обозначим равные углы при основании как $\alpha$, а угол при вершине как $\beta$.Сумма всех углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Таким образом, для нашего треугольника справедливо равенство:$2\alpha + \beta = 180^\circ$

Согласно условию, один угол на $90^\circ$ меньше другого. В равнобедренном треугольнике есть только две различные величины углов ($\alpha$ и $\beta$), поэтому мы должны рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Угол при основании меньше угла при вершине.
В этом случае, $\alpha = \beta - 90^\circ$. Подставим это выражение в уравнение суммы углов:
$2(\beta - 90^\circ) + \beta = 180^\circ$
$2\beta - 180^\circ + \beta = 180^\circ$
$3\beta = 180^\circ + 180^\circ$
$3\beta = 360^\circ$
$\beta = 120^\circ$
Теперь найдем величину углов при основании:
$\alpha = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$
Получаем треугольник с углами $30^\circ$, $30^\circ$ и $120^\circ$. Проверим сумму: $30^\circ + 30^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. Все углы положительны, значит, такой треугольник существует.

Случай 2: Угол при вершине меньше угла при основании.
В этом случае, $\beta = \alpha - 90^\circ$. Подставим это выражение в уравнение суммы углов:
$2\alpha + (\alpha - 90^\circ) = 180^\circ$
$3\alpha - 90^\circ = 180^\circ$
$3\alpha = 180^\circ + 90^\circ$
$3\alpha = 270^\circ$
$\alpha = 90^\circ$
Теперь найдем величину угла при вершине:
$\beta = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ$
Угол в треугольнике не может быть равен $0^\circ$, поэтому этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможный набор углов для данного треугольника — это $30^\circ$, $30^\circ$ и $120^\circ$.Вопрос задачи — найти больший угол. Сравнивая углы, видим, что больший угол равен $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$

16.12. Углы треугольника относятся как 1:2:3. Найдите меньший из них.

Пусть углы треугольника обозначаются как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Сумма углов в любом треугольнике всегда равна $180^\circ$.

Согласно условию, углы относятся как $1:2:3$. Это можно записать в виде пропорции: $\alpha : \beta : \gamma = 1 : 2 : 3$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда величины углов можно выразить следующим образом:

Первый угол $\alpha = 1 \cdot x = x$.
Второй угол $\beta = 2 \cdot x = 2x$.
Третий угол $\gamma = 3 \cdot x = 3x$.

Теперь воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника и составим уравнение:

$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Подставим выражения для углов через $x$:

$x + 2x + 3x = 180^\circ$

Сложим все слагаемые в левой части уравнения:

$6x = 180^\circ$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:

$x = \frac{180^\circ}{6}$
$x = 30^\circ$

Мы нашли значение одной части в соотношении. Меньший угол соответствует наименьшему числу в отношении, то есть 1. Его величина равна $x$.

Меньший угол: $\alpha = x = 30^\circ$.
Остальные углы равны: $\beta = 2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$ и $\gamma = 3x = 3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $30^\circ$

16.13. В треугольнике ABC угол C равен $64^\circ$, внешний угол при вершине B равен $104^\circ$ (рис. 16.4). Найдите угол A.

Рис. 16.4

По условию задачи в треугольнике $ABC$ известны угол $C$ и внешний угол при вершине $B$. Необходимо найти угол $A$.

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Через теорему о внешнем угле треугольника

Согласно теореме, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Для нашего треугольника внешний угол при вершине $B$ равен сумме углов $A$ и $C$.

Запишем это в виде уравнения:

Внешний $\angle B = \angle A + \angle C$

Подставим известные значения из условия задачи:

$104^\circ = \angle A + 64^\circ$

Чтобы найти $\angle A$, нужно вычесть $64^\circ$ из $104^\circ$:

$\angle A = 104^\circ - 64^\circ$

$\angle A = 40^\circ$

Способ 2: Через свойство смежных углов и сумму углов треугольника

1. Сначала найдем внутренний угол $B$ треугольника ($\angle ABC$). Внутренний и внешний углы при одной вершине являются смежными, поэтому их сумма составляет $180^\circ$.

$\angle ABC = 180^\circ - \text{внешний } \angle B$

$\angle ABC = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$

2. Теперь мы знаем два угла в треугольнике $ABC$: $\angle C = 64^\circ$ и $\angle ABC = 76^\circ$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.

$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^\circ$

Подставим известные значения углов:

$\angle A + 76^\circ + 64^\circ = 180^\circ$

$\angle A + 140^\circ = 180^\circ$

Выразим и найдем $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - 140^\circ$

$\angle A = 40^\circ$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $40^\circ$.

16.14. В треугольнике ABC ($AC = BC$) внешний угол при вершине B равен $122^\circ$ (рис. 16.5). Найдите угол C.

Рис. 16.5

Внешний угол при вершине $B$ треугольника $ABC$ и внутренний угол $\angle ABC$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Зная, что внешний угол равен $122^\circ$, мы можем найти внутренний угол при вершине $B$:
$\angle ABC = 180^\circ - 122^\circ = 58^\circ$.
Согласно условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным, поскольку стороны $AC$ и $BC$ равны ($AC = BC$). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основанием является сторона $AB$, следовательно, угол при вершине $A$ равен углу при вершине $B$:
$\angle BAC = \angle ABC = 58^\circ$.
Сумма всех углов в треугольнике равна $180^\circ$. Чтобы найти угол $C$ ($\angle ACB$), нужно из $180^\circ$ вычесть сумму двух других углов:
$\angle C = 180^\circ - (\angle ABC + \angle BAC) = 180^\circ - (58^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.
Ответ: $64^\circ$.

16.15. В треугольнике ABC ($AC = BC$) $\angle C$ равен $50^\circ$ (рис. 16.5). Найдите внешний $\angle CBD$.

Рис. 16.5

По условию задачи дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны равны ($AC = BC$) и известен угол при вершине $\angle C = 50^\circ$. Угол $CBD$ является внешним углом треугольника при вершине $B$.

Согласно свойству внешнего угла треугольника, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае:

$\angle CBD = \angle C + \angle CAB$

Для того чтобы найти $\angle CBD$, сначала необходимо вычислить величину угла $CAB$.

Так как треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$, углы при основании равны:

$\angle CAB = \angle CBA$

Сумма всех углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому:

$\angle CAB + \angle CBA + \angle C = 180^\circ$

Поскольку $\angle CAB = \angle CBA$, мы можем записать:

$2 \cdot \angle CAB + 50^\circ = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение относительно $\angle CAB$:

$2 \cdot \angle CAB = 180^\circ - 50^\circ$

$2 \cdot \angle CAB = 130^\circ$

$\angle CAB = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$

Теперь, зная $\angle CAB$, мы можем вычислить искомый внешний угол $\angle CBD$:

$\angle CBD = \angle C + \angle CAB = 50^\circ + 65^\circ = 115^\circ$

Ответ: $115^\circ$.

16.16. В треугольнике ABC ($AB = BC$) внешний угол при вершине B равен 138° (рис. 16.6). Найдите угол C.

Рис. 16.6

По условию задачи дан треугольник $ABC$, в котором стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, а его основанием является сторона $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, угол $A$ равен углу $C$.

$ \angle BAC = \angle BCA $ (или $ \angle A = \angle C $)

Также известно, что внешний угол при вершине $B$ равен $138^\circ$.

Для нахождения угла $C$ можно использовать свойство внешнего угла треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В нашем случае, внешний угол при вершине $B$ равен сумме углов $A$ и $C$.

Составим уравнение на основе этого свойства:

Внешний $ \angle B = \angle A + \angle C $

Так как $ \angle A = \angle C $, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$ 138^\circ = \angle C + \angle C $

$ 138^\circ = 2 \cdot \angle C $

Из этого уравнения находим величину угла $C$:

$ \angle C = \frac{138^\circ}{2} $

$ \angle C = 69^\circ $

В качестве альтернативного способа можно сначала найти внутренний угол $B$. Так как внутренний и внешний углы при одной вершине смежные, их сумма равна $180^\circ$.

$ \angle ABC = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ $

Зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$ и что $ \angle A = \angle C $, имеем:

$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $

$ \angle C + 42^\circ + \angle C = 180^\circ $

$ 2 \cdot \angle C = 180^\circ - 42^\circ $

$ 2 \cdot \angle C = 138^\circ $

$ \angle C = 69^\circ $

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $69^\circ$.

16.17. В треугольнике $ABC$ ($AB = BC$) угол $A$ равен $70^\circ$ (рис. 16.6).
Найдите внешний угол при вершине $B$.

Рис. 16.6

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$). Это означает, что треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, угол $C$ равен углу $A$. Так как по условию $\angle A = 70^\circ$, то и $\angle C = 70^\circ$.

Внешний угол треугольника при какой-либо вершине равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Таким образом, внешний угол при вершине $B$ равен сумме углов $A$ и $C$.

Вычислим искомый угол:
Внешний угол при $B = \angle A + \angle C = 70^\circ + 70^\circ = 140^\circ$.

Ответ: $140^\circ$.

16.18. Один из внешних углов треугольника равен 85°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3 (рис. 16.7). Найдите наибольший из них.

A

B

C

Рис. 16.7

Пусть в треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $B$ равен $85^\circ$. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В данном случае это углы $A$ и $C$.

Таким образом, мы можем записать:
$\angle A + \angle C = 85^\circ$

По условию задачи, эти углы относятся как $2:3$. То есть, $\angle A : \angle C = 2:3$.
Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда один угол будет равен $2x$, а другой $3x$.
$\angle A = 2x$
$\angle C = 3x$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы углов:
$2x + 3x = 85^\circ$
$5x = 85^\circ$
$x = 85^\circ / 5$
$x = 17^\circ$

Теперь найдем величины углов $A$ и $C$:
$\angle A = 2x = 2 \cdot 17^\circ = 34^\circ$
$\angle C = 3x = 3 \cdot 17^\circ = 51^\circ$

Задача требует найти наибольший из этих углов. Сравнивая $34^\circ$ и $51^\circ$, видим, что наибольший угол равен $51^\circ$.

Ответ: $51^\circ$