Номер 16.11, страница 89 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.11. В равнобедренном треугольнике один угол на $90^{\circ}$ меньше другого угла. Найдите больший угол.

В равнобедренном треугольнике два угла равны. Обозначим равные углы при основании как $\alpha$, а угол при вершине как $\beta$.Сумма всех углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Таким образом, для нашего треугольника справедливо равенство:$2\alpha + \beta = 180^\circ$

Согласно условию, один угол на $90^\circ$ меньше другого. В равнобедренном треугольнике есть только две различные величины углов ($\alpha$ и $\beta$), поэтому мы должны рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Угол при основании меньше угла при вершине.
В этом случае, $\alpha = \beta - 90^\circ$. Подставим это выражение в уравнение суммы углов:
$2(\beta - 90^\circ) + \beta = 180^\circ$
$2\beta - 180^\circ + \beta = 180^\circ$
$3\beta = 180^\circ + 180^\circ$
$3\beta = 360^\circ$
$\beta = 120^\circ$
Теперь найдем величину углов при основании:
$\alpha = 120^\circ - 90^\circ = 30^\circ$
Получаем треугольник с углами $30^\circ$, $30^\circ$ и $120^\circ$. Проверим сумму: $30^\circ + 30^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. Все углы положительны, значит, такой треугольник существует.

Случай 2: Угол при вершине меньше угла при основании.
В этом случае, $\beta = \alpha - 90^\circ$. Подставим это выражение в уравнение суммы углов:
$2\alpha + (\alpha - 90^\circ) = 180^\circ$
$3\alpha - 90^\circ = 180^\circ$
$3\alpha = 180^\circ + 90^\circ$
$3\alpha = 270^\circ$
$\alpha = 90^\circ$
Теперь найдем величину угла при вершине:
$\beta = 90^\circ - 90^\circ = 0^\circ$
Угол в треугольнике не может быть равен $0^\circ$, поэтому этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможный набор углов для данного треугольника — это $30^\circ$, $30^\circ$ и $120^\circ$.Вопрос задачи — найти больший угол. Сравнивая углы, видим, что больший угол равен $120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$