Номер 16.13, страница 89 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.13. В треугольнике ABC угол C равен $64^\circ$, внешний угол при вершине B равен $104^\circ$ (рис. 16.4). Найдите угол A.

Рис. 16.4

По условию задачи в треугольнике $ABC$ известны угол $C$ и внешний угол при вершине $B$. Необходимо найти угол $A$.

Эту задачу можно решить двумя способами.

Способ 1: Через теорему о внешнем угле треугольника

Согласно теореме, внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Для нашего треугольника внешний угол при вершине $B$ равен сумме углов $A$ и $C$.

Запишем это в виде уравнения:

Внешний $\angle B = \angle A + \angle C$

Подставим известные значения из условия задачи:

$104^\circ = \angle A + 64^\circ$

Чтобы найти $\angle A$, нужно вычесть $64^\circ$ из $104^\circ$:

$\angle A = 104^\circ - 64^\circ$

$\angle A = 40^\circ$

Способ 2: Через свойство смежных углов и сумму углов треугольника

1. Сначала найдем внутренний угол $B$ треугольника ($\angle ABC$). Внутренний и внешний углы при одной вершине являются смежными, поэтому их сумма составляет $180^\circ$.

$\angle ABC = 180^\circ - \text{внешний } \angle B$

$\angle ABC = 180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$

2. Теперь мы знаем два угла в треугольнике $ABC$: $\angle C = 64^\circ$ и $\angle ABC = 76^\circ$. Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.

$\angle A + \angle ABC + \angle C = 180^\circ$

Подставим известные значения углов:

$\angle A + 76^\circ + 64^\circ = 180^\circ$

$\angle A + 140^\circ = 180^\circ$

Выразим и найдем $\angle A$:

$\angle A = 180^\circ - 140^\circ$

$\angle A = 40^\circ$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $40^\circ$.