Страница 91 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

16.25. В треугольнике $ABC$ угол $B$ — тупой, угол $A$ равен $30^\circ$, $CH$ — высота, угол $BCH$ равен $22^\circ$ (рис. 16.11). Найдите угол $ACB$.

Рис. 16.11

Поскольку по условию задачи угол $B$ в треугольнике $ABC$ является тупым, высота $CH$, проведенная из вершины $C$, падает на продолжение стороны $AB$. Таким образом, точка $H$ лежит на прямой $AB$ вне отрезка $AB$, и порядок точек на прямой: $A-B-H$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. В этом треугольнике нам известны два угла:
1) $\angle CHA = 90°$, так как $CH$ — высота.
2) $\angle CAH$ (он же угол $\angle A$ треугольника $ABC$) равен $30°$ по условию.
Сумма углов любого треугольника равна $180°$. Следовательно, мы можем найти третий угол, $\angle ACH$:
$\angle ACH = 180° - \angle CHA - \angle CAH = 180° - 90° - 30° = 60°$.

Искомый угол $\angle ACB$ является частью угла $\angle ACH$. Из рисунка видно, что угол $\angle ACH$ складывается из двух углов: $\angle ACB$ и $\angle BCH$.
$\angle ACH = \angle ACB + \angle BCH$.
Выразим отсюда угол $\angle ACB$:
$\angle ACB = \angle ACH - \angle BCH$.

Теперь подставим известные нам значения в полученную формулу. Мы вычислили, что $\angle ACH = 60°$, а по условию задачи $\angle BCH = 22°$.
$\angle ACB = 60° - 22° = 38°$.

Ответ: 38°.

16.26. В треугольнике $ABC$ $AC = BC$, $AD$ — высота, угол $\angle BAD$ равен $24^\circ$ (рис. 16.12). Найдите угол $\angle C$.

Рис. 16.12

По условию задачи, в треугольнике $ABC$ стороны $AC$ и $BC$ равны, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle CAB = \angle CBA$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Так как $AD$ — высота, проведенная к стороне $BC$, то угол $\angle ADB$ является прямым, то есть $\angle ADB = 90°$. Таким образом, треугольник $ABD$ — прямоугольный.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$. В треугольнике $ABD$ острыми углами являются $\angle BAD$ и $\angle ABD$. По условию $\angle BAD = 24°$. Найдем величину угла $\angle ABD$ (который является углом $\angle B$ треугольника $ABC$):

$\angle ABD = 90° - \angle BAD = 90° - 24° = 66°$.

Так как $\angle CBA = \angle ABD$, то $\angle CBA = 66°$. Поскольку $\triangle ABC$ — равнобедренный, то $\angle CAB = \angle CBA = 66°$.

Сумма всех углов в треугольнике $ABC$ равна $180°$. Зная два угла при основании, мы можем найти искомый угол $C$:

$\angle C = 180° - (\angle CAB + \angle CBA)$

$\angle C = 180° - (66° + 66°) = 180° - 132° = 48°$.

Ответ: $48°$.

16.27. В треугольнике $ABC$ $AD$ — биссектриса, угол $C$ равен $30^\circ$, угол $BAD$ равен $22^\circ$ (рис. 16.13). Найдите угол $ADB$.

Рис. 16.13

Согласно условию задачи, в треугольнике $ABC$ отрезок $AD$ является биссектрисой угла $\angle BAC$. Также известно, что угол $C$ равен $30^{\circ}$, а угол $BAD$ равен $22^{\circ}$. Требуется найти угол $ADB$.

1. Поскольку $AD$ — это биссектриса угла $\angle BAC$, она делит этот угол на два равных угла: $\angle BAD$ и $\angle CAD$. Из условия мы знаем, что $\angle BAD = 22^{\circ}$, следовательно, $\angle CAD$ также равен $22^{\circ}$.
$\angle CAD = \angle BAD = 22^{\circ}$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Угол $\angle ADB$ является внешним углом для этого треугольника при вершине $D$. По теореме о внешнем угле треугольника, его градусная мера равна сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

3. В данном случае, внешний угол $\angle ADB$ для $\triangle ADC$ равен сумме углов $\angle C$ и $\angle CAD$.
Математически это можно записать так:
$\angle ADB = \angle C + \angle CAD$.

4. Подставив известные значения в формулу, получим:
$\angle ADB = 30^{\circ} + 22^{\circ} = 52^{\circ}$.

Ответ: $52^{\circ}$.

16.28. В треугольнике $ABC$ $AD$ — биссектриса, $\angle C$ равен $50^\circ$, $\angle CAD$ равен $28^\circ$ (рис. 16.14). Найдите $\angle B$.

Рис. 16.14

Рис. 16.14

По условию задачи в треугольнике $ABC$ отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$. Также даны величины двух углов: $\angle C = 50^\circ$ и $\angle CAD = 28^\circ$.

Биссектриса угла делит его на два равных угла. Следовательно, угол $DAB$ равен углу $CAD$:

$\angle DAB = \angle CAD = 28^\circ$

Полный угол $A$ треугольника $ABC$ (угол $BAC$) равен сумме двух этих углов:

$\angle BAC = \angle CAD + \angle DAB = 28^\circ + 28^\circ = 56^\circ$

Сумма внутренних углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ справедливо равенство:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Теперь мы можем найти неизвестный угол $B$, подставив в формулу известные значения углов $A$ и $C$:

$56^\circ + \angle B + 50^\circ = 180^\circ$

$\angle B + 106^\circ = 180^\circ$

$\angle B = 180^\circ - 106^\circ$

$\angle B = 74^\circ$

Ответ: $74^\circ$

16.29. В треугольнике $ABC$ $AD$ — биссектриса, угол $B$ равен $72^\circ$, угол $CAD$ равен $30^\circ$ (рис. 16.14). Найдите угол $C$.

Рис. 16.14

По условию задачи в треугольнике $ABC$ отрезок $AD$ является биссектрисой угла $A$. Это означает, что он делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAD$ и $\angle CAD$.

Нам дано, что $\angle CAD = 30^\circ$. Так как $AD$ — биссектриса, то $\angle BAD = \angle CAD = 30^\circ$.

Теперь мы можем найти величину всего угла $A$ (или $\angle BAC$), сложив две его части:

$\angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ$.

Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ справедливо равенство:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Мы знаем значения углов $A$ и $B$: $\angle A = 60^\circ$ и $\angle B = 72^\circ$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти угол $C$:

$60^\circ + 72^\circ + \angle C = 180^\circ$.

$132^\circ + \angle C = 180^\circ$.

Отсюда находим искомый угол $C$:

$\angle C = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$.

Ответ: $48^\circ$.

16.30. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $60^\circ$, $AD$ и $BE$ — биссектрисы, пересекающиеся в точке $O$ (рис. 16.15). Найдите угол $AOB$.

Рис. 16.15

Рассмотрим треугольник $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle CAB + \angle CBA + \angle C = 180^\circ$.

По условию задачи угол $C$ равен $60^\circ$. Подставив это значение, получим:

$\angle CAB + \angle CBA + 60^\circ = 180^\circ$

Отсюда можем найти сумму углов $A$ и $B$ треугольника $ABC$:

$\angle CAB + \angle CBA = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Отрезки $AD$ и $BE$ являются биссектрисами углов $CAB$ и $CBA$ соответственно. Точка $O$ — это точка их пересечения. По определению биссектрисы, она делит угол пополам. Следовательно, для углов треугольника $AOB$ мы можем записать:

$\angle OAB = \frac{1}{2} \angle CAB$

$\angle OBA = \frac{1}{2} \angle CBA$

Теперь рассмотрим треугольник $AOB$. Сумма его углов также равна $180^\circ$:

$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$

Подставим в это равенство выражения для углов $\angle OAB$ и $\angle OBA$:

$\angle AOB + \frac{1}{2} \angle CAB + \frac{1}{2} \angle CBA = 180^\circ$

Вынесем множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle AOB + \frac{1}{2} (\angle CAB + \angle CBA) = 180^\circ$

Мы ранее вычислили, что сумма $\angle CAB + \angle CBA = 120^\circ$. Подставим это значение в уравнение:

$\angle AOB + \frac{1}{2} (120^\circ) = 180^\circ$

$\angle AOB + 60^\circ = 180^\circ$

Наконец, находим искомый угол $AOB$:

$\angle AOB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

пересекающихся в точке C (рис. 16.11). Най

16.31. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника.

16.32. ... $54^\circ$ $66^\circ$ Н

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором угол $C$ является прямым, то есть $\angle C = 90^\circ$. Острыми углами этого треугольника являются $\angle A$ и $\angle B$. Обозначим их величины как $\alpha$ и $\beta$ соответственно.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника $ABC$ имеем:$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.Подставив значение прямого угла, получим:$\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ$.Отсюда следует, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна:$\alpha + \beta = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Проведем биссектрисы острых углов $\angle A$ и $\angle B$. Пусть они пересекаются в точке $O$, как показано на рисунке.

Рассмотрим треугольник $AOB$, образованный отрезками биссектрис и стороной $AB$. Углы этого треугольника равны:$\angle OAB = \frac{\angle A}{2} = \frac{\alpha}{2}$ (так как $AO$ — биссектриса угла $A$),$\angle OBA = \frac{\angle B}{2} = \frac{\beta}{2}$ (так как $BO$ — биссектриса угла $B$).Сумма углов в треугольнике $AOB$ также равна $180^\circ$:$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.

Подставим известные соотношения в это равенство:$\angle AOB + \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 180^\circ$,$\angle AOB + \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ$.Мы уже установили, что $\alpha + \beta = 90^\circ$. Подставим это значение в уравнение:$\angle AOB + \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ$,$\angle AOB + 45^\circ = 180^\circ$,$\angle AOB = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Полученный угол $\angle AOB = 135^\circ$ является одним из углов между биссектрисами. Этот угол тупой. При пересечении двух прямых образуются два смежных угла, сумма которых равна $180^\circ$. Острый угол, который требуется найти в задаче, будет равен:$180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.Таким образом, острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника всегда равен $45^\circ$, независимо от величин самих острых углов.

Ответ: $45^\circ$.

16.32. Два угла треугольника равны $54^\circ$ и $66^\circ$. Найдите острый угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов (рис. 16.16).

Пусть дан треугольник ABC, в котором известны два угла, например, $ \angle A = 54^\circ $ и $ \angle B = 66^\circ $. Из вершин этих углов проведены высоты AG и BH, которые пересекаются в точке O, как показано на рисунке. Необходимо найти острый угол, образованный при пересечении этих высот.

Сначала найдем третий угол треугольника, $ \angle C $. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$.$ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (54^\circ + 66^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Теперь рассмотрим четырехугольник CHOG. По определению высоты, $ AG \perp BC $ и $ BH \perp AC $. Это означает, что $ \angle AGC = 90^\circ $ и $ \angle BHC = 90^\circ $. Таким образом, в четырехугольнике CHOG нам известны три угла:

1. $ \angle GCH $, который является углом $ \angle C $ треугольника, равен $60^\circ$.

2. $ \angle OGC $ (часть угла $ \angle AGC $) равен $90^\circ$.

3. $ \angle OHC $ (часть угла $ \angle BHC $) равен $90^\circ$.

Сумма углов в четырехугольнике равна $360^\circ$. Для четырехугольника CHOG запишем:$ \angle HOG + \angle OGC + \angle GCH + \angle CHO = 360^\circ $

Подставим известные значения в уравнение:$ \angle HOG + 90^\circ + 60^\circ + 90^\circ = 360^\circ $$ \angle HOG + 240^\circ = 360^\circ $$ \angle HOG = 360^\circ - 240^\circ = 120^\circ $.

Угол $ \angle HOG $ является одним из углов, образованных при пересечении высот. Так как $120^\circ > 90^\circ$, это тупой угол. Искомый острый угол является смежным с углом $ \angle HOG $. Например, угол $ \angle AOH $ и $ \angle HOG $ вместе образуют развернутый угол вдоль прямой AG, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$ \angle AOH = 180^\circ - \angle HOG = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Таким образом, острый угол, образованный высотами, равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.