Страница 98 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Сколько углов образуется при пересечении двух параллельных прямых третьей:

A. 4. B. 6.

C. 8. D. 12?

2. Сколько острых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей:

A. 2. B. 4.

C. 6. D. 8?

3. Сколько тупых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей:

A. 2. B. 4.

C. 8. D. 16?

4. Сколько прямых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей:

A. 0. B. 2.

C. 4. D. 8?

5. При пересечении двух параллельных прямых третьей один из углов оказался равным $112^\circ$. Найдите наименьший из всех образованных при этом углов:

A. Нельзя определить. B. $34^\circ$.

C. $68^\circ$. D. $112^\circ$.

6. Сумма трех внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, равна $290^\circ$. Найдите четвертый внутренний угол:

A. $145^\circ$. B. $110^\circ$.

C. $35^\circ$. D. $70^\circ$.

7. Как расположены относительно друг друга прямые, содержащие биссектрисы внутренних односторонних углов, которые получились при пересечении двух параллельных прямых третьей:

A. Перпендикулярны.

B. Параллельны.

C. Пересекаются под углом $45^\circ$.

D. Пересекаются под углом $60^\circ$?

8. Как расположены относительно друг друга прямые, содержащие биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, которые получились при пересечении двух параллельных прямых третьей:

A. Перпендикулярны.

B. Параллельны.

C. Пересекаются под углом $45^\circ$.

D. Пересекаются под углом $60^\circ$?

9. Найдите углы треугольника, которые относятся как $2:3:4$:

A. $20^\circ$, $30^\circ$, $40^\circ$. B. $40^\circ$, $60^\circ$, $80^\circ$.

C. $36^\circ$, $54^\circ$, $90^\circ$. D. $18^\circ$, $27^\circ$, $36^\circ$.

10. Определите вид треугольника, если его углы относятся как $1:2:3$:

A. Равнобедренный.

B. Остроугольный.

C. Прямоугольный.

D. Тупоугольный.

11. Определите вид треугольника, если один из его углов больше суммы двух других:

A. Равнобедренный.

B. Остроугольный.

C. Прямоугольный.

D. Тупоугольный.

12. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как $1:2$. Найдите больший острый угол:

A. $40^\circ$. B. $50^\circ$.

C. $60^\circ$. D. $80^\circ$.

13. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $50^\circ$, $AC = BC$. Найдите угол $C$:

A. $40^\circ$. B. $50^\circ$.

C. $60^\circ$. D. $80^\circ$.

14. В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $100^\circ$, $AC = BC$. Найдите угол $A$:

A. $40^\circ$. B. $50^\circ$.

C. $60^\circ$. D. $80^\circ$.

15. Один из углов равнобедренного треугольника равен $90^\circ$. Найдите два других угла:

A. $30^\circ$. B. $45^\circ$.

C. $60^\circ$. D. $90^\circ$.

16. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $70^\circ$. Найдите угол между его высотой, проведенной к боковой стороне, и другой боковой стороной:

A. $20^\circ$. B. $50^\circ$.

C. $70^\circ$. D. $110^\circ$.

17. Найдите угол между двумя биссектрисами правильного треугольника:

A. $30^\circ$. B. $45^\circ$.

C. $60^\circ$. D. $90^\circ$.

18. Два угла треугольника равны $40^\circ$ и $60^\circ$. Найдите острый угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов:

A. $20^\circ$. B. $40^\circ$.

C. $80^\circ$. D. $100^\circ$.

19. Один острый угол прямоугольного треугольника равен $40^\circ$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла:

A. $5^\circ$. B. $10^\circ$.

C. $15^\circ$. D. $20^\circ$.

20. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны 10 см и 5 см:

A. 5 см. B. 10 см.

C. 15 см. D. 20 см.

1. Сколько углов образуется при пересечении двух параллельных прямых третьей:

При пересечении двух прямых одной секущей образуется две точки пересечения. В каждой точке пересечения образуется 4 угла (две пары вертикальных углов). Таким образом, общее количество углов равно $2 \times 4 = 8$.
Ответ: C. 8.

2. Сколько острых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей:

Если секущая не перпендикулярна параллельным прямым, то в каждой из двух точек пересечения образуется 2 острых и 2 тупых угла. Острые углы в одной точке пересечения равны острым углам в другой (как соответственные или накрест лежащие). Всего получается $2 + 2 = 4$ острых угла. Если секущая перпендикулярна, то все углы прямые, и острых углов 0. Вопрос "сколько... может образоваться" предполагает ненулевой случай.
Ответ: B. 4.

3. Сколько тупых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей:

Аналогично предыдущему вопросу, если секущая не перпендикулярна параллельным прямым, то в каждой точке пересечения образуется 2 тупых угла. Всего получается $2 + 2 = 4$ тупых угла. Если секущая перпендикулярна, тупых углов не образуется.
Ответ: B. 4.

4. Сколько прямых углов может образоваться при пересечении двух параллельных прямых третьей:

Прямые углы (равные $90^\circ$) образуются в том случае, если секущая перпендикулярна одной из параллельных прямых. В этом случае она перпендикулярна и второй прямой. Тогда в каждой из двух точек пересечения все 4 угла будут прямыми. Общее количество прямых углов будет равно $4 + 4 = 8$.
Ответ: D. 8.

5. При пересечении двух параллельных прямых третьей один из углов оказался равным 112°. Найдите наименьший из всех образованных при этом углов:

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуются углы только двух величин. Одна группа углов равна данному углу $112^\circ$ (это тупые углы), а другая группа углов является смежными с ними. Смежный угол равен $180^\circ - 112^\circ = 68^\circ$. Это острые углы. Наименьший из всех углов равен $68^\circ$.
Ответ: C. 68°.

6. Сумма трех внутренних углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, равна 290°. Найдите четвертый внутренний угол:

При пересечении двух параллельных прямых секущей образуется четыре внутренних угла. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$. Так как таких пар две, то сумма всех четырех внутренних углов равна $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$. Если сумма трех из них равна $290^\circ$, то четвертый угол равен $360^\circ - 290^\circ = 70^\circ$.
Ответ: D. 70°.

7. Как расположены относительно друг друга прямые, содержащие биссектрисы внутренних односторонних углов, которые получились при пересечении двух параллельных прямых третьей:

Пусть две параллельные прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$.

Внутренние односторонние углы, обозначим их $ \alpha $ и $ \beta $, в сумме дают $180^\circ$ (свойство параллельных прямых): $ \alpha + \beta = 180^\circ $. Биссектриса делит угол пополам. Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами (красная и синяя линии на рисунке) и отрезком секущей между параллельными прямыми. Два угла этого треугольника равны половинам внутренних односторонних углов, то есть $ \alpha/2 $ и $ \beta/2 $. Третий угол $ \gamma $ в этом треугольнике (угол пересечения биссектрис) можно найти из условия, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$ \gamma + \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 180^\circ $
$ \gamma + \frac{\alpha + \beta}{2} = 180^\circ $
Подставим $ \alpha + \beta = 180^\circ $:
$ \gamma + \frac{180^\circ}{2} = 180^\circ $
$ \gamma + 90^\circ = 180^\circ $
$ \gamma = 90^\circ $
Так как угол между прямыми, содержащими биссектрисы, равен $90^\circ$, эти прямые перпендикулярны.
Ответ: А. Перпендикулярны.

8. Как расположены относительно друг друга прямые, содержащие биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, которые получились при пересечении двух параллельных прямых третьей:

Пусть две параллельные прямые $a$ и $b$ пересечены секущей $c$.

Внутренние накрест лежащие углы, обозначим их $ \alpha $, равны друг другу (свойство параллельных прямых). Биссектриса (красная линия) первого угла $ \alpha $ образует с секущей $c$ угол, равный $ \alpha/2 $. Биссектриса (синяя линия) второго угла $ \alpha $ образует с секущей $c$ угол, также равный $ \alpha/2 $. Эти два угла ($ \alpha/2 $ и $ \alpha/2 $) являются внутренними накрест лежащими для прямых, содержащих биссектрисы, при их пересечении секущей $c$. Поскольку внутренние накрест лежащие углы равны, то по признаку параллельности прямых, прямые, содержащие биссектрисы, параллельны.
Ответ: B. Параллельны.

9. Найдите углы треугольника, которые относятся как 2:3:4:

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Пусть углы равны $2x$, $3x$ и $4x$. Тогда их сумма: $2x + 3x + 4x = 180^\circ$. Отсюда $9x = 180^\circ$, и $x = 20^\circ$. Углы треугольника равны: $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$, $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$, $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$.
Ответ: B. 40°, 60°, 80°.

10. Определите вид треугольника, если его углы относятся как 1:2:3:

Пусть углы равны $x$, $2x$ и $3x$. Их сумма $x + 2x + 3x = 180^\circ$, что дает $6x = 180^\circ$, и $x = 30^\circ$. Углы треугольника равны: $30^\circ$, $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$, $3 \cdot 30^\circ = 90^\circ$. Так как один из углов равен $90^\circ$, треугольник является прямоугольным.
Ответ: C. Прямоугольный.

11. Определите вид треугольника, если один из его углов больше суммы двух других:

Пусть углы треугольника равны $\alpha, \beta, \gamma$. По условию, пусть $\gamma > \alpha + \beta$. Сумма углов в треугольнике: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, откуда $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$. Подставив это в неравенство, получим: $\gamma > 180^\circ - \gamma$, что равносильно $2\gamma > 180^\circ$, или $\gamma > 90^\circ$. Если в треугольнике есть угол больше $90^\circ$, он называется тупоугольным.
Ответ: D. Тупоугольный.

12. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 1:2. Найдите больший острый угол:

В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$. Пусть острые углы равны $x$ и $2x$. Тогда $x + 2x = 90^\circ$, что дает $3x = 90^\circ$, и $x = 30^\circ$. Острые углы равны $30^\circ$ и $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. Больший из них равен $60^\circ$.
Ответ: C. 60°.

13. В треугольнике ABC угол A равен 50°, AC = BC. Найдите угол C:

Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому $\angle B = \angle A = 50^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Ответ: D. 80°.

14. В треугольнике ABC угол C равен 100°, AC = BC. Найдите угол A:

Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. Углы при основании $\angle A$ и $\angle B$ равны. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Так как $\angle A = \angle B$, то каждый из них равен $80^\circ / 2 = 40^\circ$.
Ответ: A. 40°.

15. Один из углов равнобедренного треугольника равен 90°. Найдите два других угла:

Если в равнобедренном треугольнике один угол равен $90^\circ$, то это равнобедренный прямоугольный треугольник. Угол $90^\circ$ может быть только при вершине, так как два прямых угла в треугольнике невозможны. Два других угла (при основании) равны между собой, и их сумма равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Каждый из них равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$.
Ответ: B. 45°.

16. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 70°. Найдите угол между его высотой, проведенной к боковой стороне, и другой боковой стороной:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$, где $AC=BC$. Углы при основании $\angle A = \angle B = 70^\circ$. Угол при вершине $\angle C = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 40^\circ$. Проведем высоту $AH$ из вершины $A$ к боковой стороне $BC$. Получим прямоугольный треугольник $AHC$ с прямым углом $\angle AHC = 90^\circ$. Мы ищем угол $\angle HAC$ (угол между высотой $AH$ и другой боковой стороной $AC$). В треугольнике $AHC$ сумма углов равна $180^\circ$, поэтому $\angle HAC = 180^\circ - \angle AHC - \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.
Ответ: B. 50°.

17. Найдите угол между двумя биссектрисами правильного треугольника:

Правильный треугольник является равносторонним, все его углы равны $60^\circ$. Биссектрисы делят эти углы пополам, на $30^\circ$. Рассмотрим треугольник, образованный двумя биссектрисами и стороной исходного треугольника. Два угла этого нового треугольника будут равны по $30^\circ$. Третий угол, который является углом пересечения биссектрис, будет равен $180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$. Угол между прямыми – это наименьший из углов, образованных при их пересечении. Второй угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Таким образом, угол между биссектрисами равен $60^\circ$.
Ответ: C. 60°.

18. Два угла треугольника равны 40° и 60°. Найдите острый угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов:

Пусть в треугольнике $ABC$ углы $\angle A = 40^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$. Третий угол $\angle C = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$. Пусть $AD$ и $BE$ – высоты, проведенные из вершин $A$ и $B$ соответственно, и они пересекаются в точке $H$. Рассмотрим четырехугольник $CDHE$. В нем $\angle C=80^\circ$, $\angle CDH = 90^\circ$ и $\angle CEH = 90^\circ$. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому угол $\angle DHE = 360^\circ - 80^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 100^\circ$. Это один из углов между высотами (тупой). Острый угол будет смежным с ним и равен $180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Ответ: C. 80°.

19. Один острый угол прямоугольного треугольника равен 40°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла:

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ острый угол $\angle A = 40^\circ$. Тогда другой острый угол $\angle B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ и биссектрису $CL$ к гипотенузе $AB$. Биссектриса $CL$ делит прямой угол пополам, поэтому $\angle ACL = 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ACH$ угол $\angle ACH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$. Искомый угол $\angle HCL$ равен разности углов $\angle ACH$ и $\angle ACL$: $\angle HCL = \angle ACH - \angle ACL = 50^\circ - 45^\circ = 5^\circ$.
Ответ: A. 5°.

20. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны 10 см и 5 см:

В равнобедренном треугольнике две стороны равны. Следовательно, третья сторона должна быть равна либо 10 см, либо 5 см.
1. Предположим, третья сторона равна 5 см. Тогда стороны треугольника равны 10 см, 5 см, 5 см. Проверим неравенство треугольника: сумма двух любых сторон должна быть больше третьей. $5 + 5 = 10$. Это не больше 10. Такой треугольник не существует (он "вырождается" в отрезок).
2. Предположим, третья сторона равна 10 см. Тогда стороны равны 10 см, 10 см, 5 см. Проверим неравенство треугольника: $10 + 10 > 5$ (верно), $10 + 5 > 10$ (верно). Такой треугольник существует. Следовательно, стороны треугольника 10 см, 10 см и 5 см. Вопрос "Найдите сторону" в данном контексте означает "определите длину третьей стороны".
Ответ: B. 10 см.