Страница 104 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.8. Найдите диаметр основания юрты (рис. 18.8), если его радиус равен:

а) 2,5 м;

б) 3 м;

в) 3,5 м;

г) 5 м.

Рис. 18.8

Основание юрты представляет собой круг. Диаметр круга (обозначим его $d$) в два раза больше его радиуса (обозначим его $r$). Связь между диаметром и радиусом выражается формулой:

$d = 2 \cdot r$

Используем эту формулу для решения задачи для каждого из предложенных случаев.

а) Дан радиус $r = 2,5$ м. Найдем диаметр:

$d = 2 \cdot 2,5 \text{ м} = 5 \text{ м}$

Ответ: 5 м.

б) Дан радиус $r = 3$ м. Найдем диаметр:

$d = 2 \cdot 3 \text{ м} = 6 \text{ м}$

Ответ: 6 м.

в) Дан радиус $r = 3,5$ м. Найдем диаметр:

$d = 2 \cdot 3,5 \text{ м} = 7 \text{ м}$

Ответ: 7 м.

г) Дан радиус $r = 5$ м. Найдем диаметр:

$d = 2 \cdot 5 \text{ м} = 10 \text{ м}$

Ответ: 10 м.

18.9. Изобразите круговой сектор градусной величины:

а) $90^\circ$;

б) $180^\circ$.

Круговой сектор — это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, которые соединяют концы дуги с центром круга. Величина угла между этими радиусами называется градусной величиной (или углом) сектора.

а) Чтобы изобразить круговой сектор с градусной величиной $90^\circ$, необходимо начертить круг, отметить его центр, а затем провести два радиуса под прямым углом ($90^\circ$) друг к другу. Полный круг содержит $360^\circ$, поэтому сектор с углом $90^\circ$ составляет $90^\circ / 360^\circ = 1/4$ часть круга. Область, заключенная между этими двумя радиусами и дугой окружности, и будет искомым сектором.

Ответ: На рисунке выше изображен круговой сектор с углом $90^\circ$.

б) Чтобы изобразить круговой сектор с градусной величиной $180^\circ$, нужно начертить круг и провести через его центр диаметр. Этот диаметр будет состоять из двух радиусов, лежащих на одной прямой и направленных в противоположные стороны. Угол между ними составляет $180^\circ$. Сектор с таким углом составляет $180^\circ / 360^\circ = 1/2$ часть круга и называется полукругом.

Ответ: На рисунке выше изображен круговой сектор с углом $180^\circ$.

18.10. Расстояние между точками $A$ и $B$ равно 2 см. Найдите наименьший возможный радиус окружности, проходящий через эти точки.

Пусть даны две точки $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 2 см. Окружность, проходящая через эти две точки, имеет центр $O$, который равноудален от точек $A$ и $B$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки.

Обозначим отрезок, соединяющий точки $A$ и $B$, как $AB$. Длина этого отрезка является хордой для любой окружности, проходящей через $A$ и $B$. По условию, длина хорды $AB = 2$ см.

Радиус окружности $R$ связан с длиной хорды $d$ и расстоянием $h$ от центра окружности до хорды по формуле, вытекающей из теоремы Пифагора: $R^2 = h^2 + (\frac{d}{2})^2$.

В нашем случае, $d = AB = 2$ см. Тогда $(\frac{d}{2})^2 = (\frac{2}{2})^2 = 1^2 = 1$ см$^2$.

Формула для радиуса принимает вид: $R = \sqrt{h^2 + 1}$.

Чтобы найти наименьший возможный радиус $R$, нам нужно минимизировать значение выражения $\sqrt{h^2 + 1}$. Так как $h$ представляет собой расстояние, то $h \ge 0$, и, следовательно, $h^2 \ge 0$. Минимальное значение $h^2$ равно 0, что достигается при $h=0$.

Случай $h=0$ означает, что центр окружности лежит на самой хорде $AB$. Поскольку центр должен лежать на серединном перпендикуляре, он должен совпадать с серединой отрезка $AB$. В этом случае хорда $AB$ является диаметром окружности.

При $h=0$ радиус будет минимальным:

$R_{min} = \sqrt{0^2 + 1} = \sqrt{1} = 1$ см.

Таким образом, наименьший возможный радиус окружности, проходящей через точки $A$ и $B$, равен половине расстояния между этими точками. Отрезок $AB$ в этом случае является диаметром окружности.

Ответ: 1 см.