Страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

1. Как могут быть расположены относительно друг друга прямая и окружность?

2. Какая прямая называется: а) касательной к окружности; б) пересекающей окружность?

3. В каком случае прямая и окружность не имеют общих точек?

4. В каком случае прямая касается окружности?

5. В каком случае прямая и окружность пересекаются?

1. Как могут быть расположены относительно друг друга прямая и окружность?
Взаимное расположение прямой и окружности на плоскости определяется количеством их общих точек. Это количество зависит от соотношения между радиусом окружности ($r$) и расстоянием от центра окружности до прямой ($d$).
Существует три возможных случая:
1. Прямая и окружность не имеют общих точек. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса ($d > r$).
2. Прямая и окружность имеют одну общую точку. В этом случае прямая называется касательной к окружности, а их общая точка — точкой касания. Это происходит, когда расстояние от центра до прямой равно радиусу ($d = r$).
3. Прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей (или пересекающей) окружность. Это происходит, когда расстояние от центра до прямой меньше радиуса ($d < r$).

Ответ: Прямая и окружность могут не иметь общих точек, иметь одну общую точку (касаться) или иметь две общие точки (пересекаться).

2. Какая прямая называется: а) касательной к окружности; б) пересекающей окружность?
а) касательной к окружности
Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания. Свойство касательной: она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
б) пересекающей окружность
Пересекающей окружность (или секущей) называется прямая, которая имеет с окружностью две различные общие точки. Отрезок секущей, лежащий внутри окружности, называется хордой.
Ответ: а) Касательная – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. б) Пересекающая (секущая) – прямая, имеющая с окружностью две общие точки.

3. В каком случае прямая и окружность не имеют общих точек?
Прямая и окружность не имеют общих точек, если расстояние от центра окружности до этой прямой больше, чем радиус окружности. Если обозначить радиус окружности как $r$, а расстояние от ее центра (точка O) до прямой как $d$, то условие отсутствия общих точек записывается как $d > r$.

Ответ: Прямая и окружность не имеют общих точек, если расстояние от центра окружности до прямой больше ее радиуса ($d > r$).

4. В каком случае прямая касается окружности?
Прямая касается окружности, если она имеет с ней ровно одну общую точку. Это происходит в том случае, когда расстояние от центра окружности до прямой в точности равно радиусу окружности. Если $r$ – радиус, а $d$ – расстояние от центра (точка O) до прямой, то условие касания: $d = r$.

Ответ: Прямая касается окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно ее радиусу ($d = r$).

5. В каком случае прямая и окружность пересекаются?
Прямая и окружность пересекаются, если они имеют две общие точки. Это возможно, когда расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности. Математически это условие записывается как $d < r$, где $r$ – радиус, а $d$ – расстояние от центра (точка O) до прямой.

Ответ: Прямая и окружность пересекаются, если расстояние от центра окружности до прямой меньше ее радиуса ($d < r$).

19.1. Прямая пересекает окружность. Как называется фигура, являющаяся пересечением (общей частью) этой прямой и круга, ограниченного данной окружностью?

Для ответа на этот вопрос необходимо различать понятия окружности и круга. Окружность — это замкнутая кривая, то есть граница фигуры. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью, включающая как саму границу, так и все точки внутри неё.

Прямая, которая пересекает окружность в двух точках, называется секущей.

В задаче спрашивается, как называется фигура, являющаяся пересечением (общей частью) этой секущей прямой и круга. Общей частью в данном случае будет отрезок прямой, который лежит внутри круга. Концы этого отрезка — это как раз те две точки, в которых прямая пересекает окружность.

В геометрии отрезок, соединяющий две любые точки на окружности, называется хордой.

Как показано на иллюстрации, пересечением круга (голубая область с границей) и прямой является отрезок, выделенный красным цветом. Этот отрезок и есть хорда.

Ответ: хорда.

19.2. Сколько касательных к данной окружности можно провести через данную точку, расположенную:

а) внутри окружности;

б) вне окружности;

в) на окружности?

а) Рассмотрим случай, когда точка $A$ расположена внутри окружности с центром $O$ и радиусом $R$. Расстояние от центра окружности до точки $A$ меньше радиуса: $OA < R$. Касательная — это прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Любая прямая, проходящая через точку $A$, расположенную внутри окружности, будет пересекать окружность в двух точках, то есть будет являться секущей. Это происходит потому, что расстояние от центра $O$ до любой прямой, проходящей через $A$, будет меньше, чем $OA$, а следовательно, меньше радиуса $R$. Если расстояние от центра до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки. Таким образом, провести касательную через точку, лежащую внутри окружности, невозможно.



Ответ: 0.

б) Рассмотрим случай, когда точка $A$ расположена вне окружности. Расстояние от центра окружности $O$ до точки $A$ больше радиуса: $OA > R$. Из точки, лежащей вне окружности, можно провести ровно две касательные. Чтобы это доказать, можно рассмотреть прямоугольные треугольники, образованные центром окружности $O$, точкой касания $T$ и внешней точкой $A$. В треугольнике $OTA$ угол $\angle OTA$ прямой, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Гипотенузой является отрезок $OA$, а катетами — радиус $OT=R$ и отрезок касательной $AT$. По теореме Пифагора, длина отрезка касательной равна $AT = \sqrt{OA^2 - R^2}$. Существует две точки касания, $T_1$ и $T_2$, которые симметричны относительно прямой $OA$. Следовательно, из точки $A$ можно провести две касательные $AT_1$ и $AT_2$.



Ответ: 2.

в) Рассмотрим случай, когда точка $A$ расположена на окружности. Расстояние от центра окружности $O$ до точки $A$ равно радиусу: $OA = R$. Через любую точку, лежащую на окружности, можно провести только одну касательную. Эта касательная является прямой, перпендикулярной радиусу, проведенному в эту точку. Если бы через точку $A$ на окружности можно было провести еще одну касательную, то она либо имела бы с окружностью еще одну общую точку (что противоречит определению касательной, делая ее секущей), либо совпадала бы с первой. Таким образом, существует единственная касательная.



Ответ: 1.

19.3. Сколько можно провести окружностей, касающихся данной прямой в данной точке?

Для решения этой задачи воспользуемся основным свойством касательной к окружности. Пусть нам дана прямая $l$ и точка $A$ на этой прямой, которая является точкой касания.

Свойство касательной гласит, что радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В нашем случае это означает, что центр любой окружности, касающейся прямой $l$ в точке $A$, должен лежать на прямой, проходящей через точку $A$ и перпендикулярной прямой $l$.

Назовем эту перпендикулярную прямую $p$. Таким образом, все центры искомых окружностей ($O_1$, $O_2$, $O_3$ и т.д.) принадлежат прямой $p$.

Прямая $p$ содержит бесконечное множество точек. Мы можем выбрать любую точку $O$ на прямой $p$ (кроме самой точки $A$, так как радиус должен быть ненулевым) и принять ее за центр окружности. Радиус такой окружности $R$ будет равен расстоянию от точки $O$ до точки $A$ ($R = OA$).

Поскольку мы можем выбрать центр окружности на любом расстоянии от точки $A$ вдоль прямой $p$ (как с одной стороны от прямой $l$, так и с другой), то существует бесконечное множество таких центров. Каждому центру соответствует своя уникальная окружность.

Следовательно, можно провести бесконечно много окружностей, касающихся данной прямой в данной точке.

Ответ: бесконечно много.

19.4. Сколько можно провести окружностей данного радиуса, касающихся данной прямой в данной точке?

Пусть нам дана прямая l, точка A на этой прямой и радиус R. Мы ищем окружности радиуса R, которые касаются прямой l в точке A.

Известно свойство касательной к окружности: радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Это означает, что центр любой искомой окружности должен лежать на прямой, перпендикулярной данной прямой l и проходящей через данную точку A. Назовем эту перпендикулярную прямую p.

lpAO₁RO₂R

Кроме того, расстояние от центра окружности до точки касания A должно быть равно заданному радиусу R. Таким образом, центр окружности должен находиться на прямой p на расстоянии R от точки A.

На прямой p существуют ровно две такие точки:

1. Точка $O_1$, расположенная на расстоянии $R$ от точки $A$ в одной полуплоскости относительно прямой l.

2. Точка $O_2$, расположенная на расстоянии $R$ от точки $A$ в другой полуплоскости относительно прямой l.

Каждая из этих двух точек ($O_1$ и $O_2$) является центром окружности радиуса $R$, которая касается прямой l в точке A. Следовательно, можно провести ровно две такие окружности.

Ответ: Можно провести две окружности.

19.5. Какой угол образуют касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания?

Угол, который образуют касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, всегда является прямым углом, то есть его величина составляет $90^\circ$.

Это фундаментальное свойство в геометрии, которое следует из определения касательной и свойства расстояния от точки до прямой.

Доказательство:

1. Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и касательная $a$, которая касается окружности в точке $A$. Отрезок $OA$ — это радиус, проведенный в точку касания.

2. По определению, касательная имеет с окружностью только одну общую точку — точку касания $A$.

3. Возьмем на касательной $a$ любую другую точку $B$, отличную от $A$.

4. Поскольку точка $B$ лежит на касательной, но не является точкой касания, она находится вне окружности.

5. Это значит, что расстояние от центра $O$ до точки $B$ (длина отрезка $OB$) будет больше, чем радиус окружности ($OA=R$). Таким образом, $OB > OA$.

6. Это рассуждение верно для любой точки $B$ на прямой $a$, кроме самой точки $A$. Следовательно, отрезок $OA$ является кратчайшим из всех отрезков, соединяющих центр $O$ с точками на прямой $a$.

7. Известно, что кратчайшее расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

8. Отсюда следует, что радиус $OA$ перпендикулярен касательной $a$.

Таким образом, угол между радиусом $OA$ и касательной $a$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$ (прямой угол).