Страница 106 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

18.16. Наибольшее и наименьшее расстояние от данной точки, расположенной вне окружности, до точек окружности равны соответственно 50 см и 20 см. Найдите радиус данной окружности.

Пусть O — центр окружности, а $r$ — её радиус. Пусть P — данная точка, расположенная вне окружности.

Наибольшее и наименьшее расстояния от внешней точки P до точек окружности лежат на прямой, проходящей через точку P и центр окружности O. Эта прямая является секущей для окружности.

Обозначим точки пересечения этой прямой с окружностью как A и B. Пусть точка A — ближайшая к P, а точка B — самая удаленная от P. Таким образом, точка A находится между P и O, а центр O находится между P и B.

Согласно условию задачи, наименьшее расстояние от точки P до окружности равно длине отрезка $PA$, а наибольшее — длине отрезка $PB$.
Наименьшее расстояние: $PA = 20$ см.
Наибольшее расстояние: $PB = 50$ см.

Из рисунка видно, что расстояние $PA$ можно выразить через расстояние от точки P до центра O (обозначим его $PO$) и радиус $r$:
$PA = PO - OA = PO - r$

Аналогично для расстояния $PB$:
$PB = PO + OB = PO + r$

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными ($PO$ и $r$):
1) $PO - r = 20$
2) $PO + r = 50$

Для нахождения радиуса $r$ можно вычесть первое уравнение из второго:
$(PO + r) - (PO - r) = 50 - 20$
$PO + r - PO + r = 30$
$2r = 30$
$r = \frac{30}{2}$
$r = 15$

Радиус данной окружности равен 15 см.

Для проверки можно найти расстояние $PO$ от точки до центра, сложив два уравнения:
$(PO - r) + (PO + r) = 20 + 50$
$2 \cdot PO = 70$
$PO = 35$ см.
Подставим найденные значения $r=15$ и $PO=35$:
Наименьшее расстояние: $35 - 15 = 20$ см. (Верно)
Наибольшее расстояние: $35 + 15 = 50$ см. (Верно)

Ответ: 15 см.

18.17. Точка $A$ расположена внутри окружности радиуса $R$ и удалена от центра $O$ этой окружности на расстояние $d$ (рис. 18.13). Чему равны наименьшее и наибольшее расстояния от точки $A$ до точек данной окружности?

Рис. 18.13

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ находится внутри окружности на расстоянии $d$ от центра ($d < R$). Требуется найти наименьшее и наибольшее расстояние от точки $A$ до произвольной точки $M$, лежащей на окружности.

Для наглядности представим данную ситуацию на рисунке, который соответствует условию задачи:

Возьмём произвольную точку $M$ на окружности. Рассмотрим треугольник $OAM$. Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника не может превышать сумму длин двух других сторон и не может быть меньше модуля их разности. Для стороны $AM$ это записывается так:

$|OM - OA| \le AM \le OM + OA$

Мы знаем, что $OA = d$ (по условию) и $OM = R$, так как $M$ — точка на окружности, а $R$ — её радиус. Подставим эти значения в неравенство:

$|R - d| \le AM \le R + d$

Поскольку точка $A$ находится внутри окружности, расстояние от неё до центра меньше радиуса, то есть $d < R$. Следовательно, разность $R - d$ положительна, и знак модуля можно убрать:

$R - d \le AM \le R + d$

Это неравенство показывает, что расстояние от точки $A$ до любой точки на окружности заключено в пределах от $R - d$ до $R + d$. Теперь докажем, что эти предельные значения достигаются.

Наименьшее расстояние

Рассмотрим прямую, проходящую через центр окружности $O$ и точку $A$. Эта прямая пересекает окружность в двух диаметрально противоположных точках. Равенство в левой части неравенства треугольника ($AM = R-d$) достигается, когда точки $O$, $A$ и $M$ лежат на одной прямой, причём точка $A$ находится между $O$ и $M$.

Пусть $M_1$ — точка пересечения прямой с окружностью, лежащая на луче $OA$. Расстояние от $A$ до $M_1$ будет равно разности расстояния от центра до $M_1$ (это радиус $R$) и расстояния от центра до $A$ (это $d$).

$AM_1 = OM_1 - OA = R - d$

Это и есть наименьшее возможное расстояние от точки $A$ до точек окружности.

Ответ: наименьшее расстояние равно $R - d$.

Наибольшее расстояние

Равенство в правой части неравенства треугольника ($AM = R+d$) достигается, когда точки $O$, $A$ и $M$ также лежат на одной прямой, но точка $O$ находится между $A$ и $M$.

Пусть $M_2$ — вторая точка пересечения прямой, проходящей через $O$ и $A$, с окружностью. Она лежит на той же прямой, но по другую сторону от центра $O$. Расстояние от $A$ до $M_2$ будет равно сумме расстояния от $A$ до центра ($AO=d$) и расстояния от центра до $M_2$ (радиус $OM_2=R$).

$AM_2 = AO + OM_2 = d + R$

Это и есть наибольшее возможное расстояние от точки $A$ до точек окружности.

Ответ: наибольшее расстояние равно $R + d$.

18.18. Наибольшее и наименьшее расстояния от данной точки, расположенной внутри окружности, до точек окружности равны соответственно 20 см и 4 см. Найдите радиус данной окружности.

Пусть $R$ — искомый радиус окружности, а $d$ — расстояние от данной точки (назовем ее $P$) до центра окружности (назовем его $O$). Поскольку точка $P$ расположена внутри окружности, ее расстояние до центра $d$ меньше радиуса $R$, то есть $d < R$.

Геометрически, наименьшее и наибольшее расстояния от внутренней точки до окружности лежат на прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Пусть эта прямая пересекает окружность в точках $A$ и $B$.

Наименьшее расстояние, равное 4 см, будет до ближайшей точки пересечения (A) и равно разности радиуса $R$ и расстояния $d$:

$R - d = 4$

Наибольшее расстояние, равное 20 см, будет до самой дальней точки пересечения (B) и равно сумме радиуса $R$ и расстояния $d$:

$R + d = 20$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} R + d = 20 \\ R - d = 4 \end{cases} $

Сложим первое и второе уравнения системы:

$(R + d) + (R - d) = 20 + 4$

$2R = 24$

Отсюда находим радиус $R$:

$R = \frac{24}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.

18.19. Докажите, что диаметр, проведенный через середину хорды, отличной от диаметра, перпендикулярен к этой хорде.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Пусть $AB$ — хорда этой окружности, которая не является диаметром (то есть, она не проходит через центр $O$). Пусть точка $M$ — середина хорды $AB$, следовательно, $AM = MB$. Проведем через точку $M$ диаметр $CD$. Требуется доказать, что диаметр $CD$ перпендикулярен хорде $AB$, то есть $CD \perp AB$.

Соединим центр окружности $O$ с концами хорды, точками $A$ и $B$. Рассмотрим получившийся треугольник $\triangle AOB$.

Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на окружности, отрезки $OA$ и $OB$ являются ее радиусами. Следовательно, их длины равны: $OA = OB$.

Это означает, что треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

По условию, точка $M$ — середина хорды $AB$. Таким образом, отрезок $OM$ является медианой в треугольнике $\triangle AOB$, проведенной к основанию $AB$.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, отрезок $OM$ перпендикулярен основанию $AB$, то есть $OM \perp AB$.

Диаметр $CD$ по построению проходит через точку $M$. Так как хорда $AB$ не является диаметром, ее середина $M$ не совпадает с центром $O$. Диаметр $CD$ проходит через две различные точки $O$ и $M$, значит, он лежит на прямой $OM$.

Поскольку прямая $OM$ перпендикулярна хорде $AB$, то и содержащая ее прямая $CD$ также перпендикулярна хорде $AB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

18.20. Используя рисунок 18.14, докажите, что диаметр является наибольшей хордой окружности.

Рис. 18.14

Для доказательства рассмотрим произвольную хорду $AB$ окружности с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Соединим центр $O$ с концами хорды $A$ и $B$. Получим треугольник $\triangle OAB$.

Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами данной окружности, следовательно, их длины равны: $OA = OB = r$.

Согласно неравенству треугольника, любая сторона треугольника меньше или равна сумме двух других его сторон. Применительно к стороне $AB$ треугольника $\triangle OAB$, это неравенство записывается как: $AB \le OA + OB$

Подставим в это неравенство длины сторон $OA$ и $OB$, равные радиусу $r$: $AB \le r + r$ $AB \le 2r$

Длина диаметра $d$ окружности по определению равна двум радиусам ($d = 2r$). Таким образом, мы доказали, что длина любой хорды $AB$ не может превышать длину диаметра.

Равенство $AB = 2r$ возможно только в одном случае: когда точки $A$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой. В этом случае хорда $AB$ проходит через центр окружности $O$ и, по определению, является диаметром. Если же хорда $AB$ не проходит через центр, то точки $A$, $O$ и $B$ образуют невырожденный треугольник, и для него выполняется строгое неравенство $AB < 2r$.

Следовательно, диаметр является наибольшей из всех возможных хорд окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длина любой хорды окружности не превышает ее диаметр. Равенство достигается только в том случае, когда хорда является диаметром, поэтому диаметр — это наибольшая хорда окружности.

18.21. Докажите, что равные хорды окружности одинаково удалены от центра окружности (рис. 18.15).

Рис. 18.15

Доказательство:

Пусть в окружности с центром в точке $O$ проведены две равные хорды $AB$ и $CD$, то есть $AB = CD$. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на хорду. Опустим из центра $O$ перпендикуляры $OM$ на хорду $AB$ и $ON$ на хорду $CD$. Таким образом, по определению, $OM$ и $ON$ — это расстояния от центра до хорд $AB$ и $CD$ соответственно. Нам необходимо доказать, что $OM = ON$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$.

1. $OA$ и $OC$ являются радиусами одной и той же окружности, следовательно, $OA = OC$. В прямоугольных треугольниках $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$ отрезки $OA$ и $OC$ являются гипотенузами.

2. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.
Поскольку $OM \perp AB$, точка $M$ является серединой хорды $AB$, значит $AM = \frac{1}{2}AB$.
Аналогично, поскольку $ON \perp CD$, точка $N$ является серединой хорды $CD$, значит $CN = \frac{1}{2}CD$.

3. По условию задачи хорды равны: $AB = CD$. Из этого следует, что и их половины равны: $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD$, то есть $AM = CN$. В прямоугольных треугольниках $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$ отрезки $AM$ и $CN$ являются катетами.

4. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle OMA$ и $\triangle ONC$ равны по гипотенузе и катету ($OA = OC$ и $AM = CN$).

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, катет $OM$ треугольника $\triangle OMA$ равен катету $ON$ треугольника $\triangle ONC$, то есть $OM = ON$.

Это означает, что расстояния от центра окружности до равных хорд равны. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

18.22. Докажите, что хорды, одинаково удаленные от центра окружности, равны (рис. 18.15).

Рис. 18.15

Для доказательства данного утверждения воспользуемся рисунком, представленным в задаче.

Дано:

Окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.
$AB$ и $CD$ — хорды данной окружности.
Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на хорду. Обозначим основания этих перпендикуляров как $H$ и $K$ соответственно, так что $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$.
По условию, хорды одинаково удалены от центра, следовательно, $OH = OK$.

Доказать:

$AB = CD$.

Доказательство:

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$.

2. Стороны $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому они равны: $OA = OC = R$. В треугольниках $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ эти стороны являются гипотенузами.

3. Стороны $OH$ и $OK$ являются катетами этих треугольников. По условию задачи, расстояния от центра до хорд равны, то есть $OH = OK$.

4. Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по гипотенузе и катету ($OA = OC$ и $OH = OK$).

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Следовательно, катеты $AH$ и $CK$ равны: $AH = CK$.

6. Воспользуемся свойством хорды: перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.

7. Поскольку $OH \perp AB$, точка $H$ является серединой хорды $AB$. Значит, $AB = 2 \cdot AH$.

8. Аналогично, поскольку $OK \perp CD$, точка $K$ является серединой хорды $CD$. Значит, $CD = 2 \cdot CK$.

9. Так как мы доказали, что $AH = CK$, то и $2 \cdot AH = 2 \cdot CK$.

10. Следовательно, $AB = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Хорды, одинаково удаленные от центра окружности, равны.

Подготовьте сообщение

18.23. Окружность — одна из древнейших геометрических фигур. Расскажите об учениях Коперника, Галилея, Кеплера (XVII в).

Хотя окружность является идеальной геометрической фигурой, попытки описать движение небесных тел с помощью идеальных круговых орбит, предпринятые в античности и поддержанные Коперником, оказались неточными. Научная революция XVII века, представленная трудами Галилея и Кеплера, коренным образом изменила эти представления, основываясь на наблюдениях и математических расчетах.

Учение Коперника
Николай Коперник (1473–1543), польский астроном, чья основная работа была опубликована в XVI веке, заложил основы для научной революции XVII века. Его главным достижением стало создание гелиоцентрической системы мира, изложенной в труде «О вращениях небесных сфер». В противовес господствовавшей веками геоцентрической системе Птолемея, где Земля считалась центром вселенной, Коперник поместил в центр Солнце. По его учению, Земля является одной из планет, вращающихся вокруг Солнца и одновременно вокруг своей оси. Это позволило проще объяснить многие астрономические явления, например, попятное движение планет. Однако, стремясь сохранить гармонию, унаследованную от античных философов, Коперник считал, что планеты движутся по идеальным круговым орбитам. Это предположение было неверным и приводило к расхождениям между теорией и наблюдениями, что потребовало дальнейших уточнений от последующих поколений ученых.
Ответ: Николай Коперник создал гелиоцентрическую систему мира, согласно которой в центре находится Солнце, а Земля и другие планеты вращаются вокруг него по круговым орбитам.

Учение Галилея
Галилео Галилей (1564–1642) — итальянский ученый, который стал одним из главных защитников и популяризаторов учения Коперника в XVII веке. В отличие от Коперника, который был в основном теоретиком, Галилей был экспериментатором. Он первым использовал телескоп для систематических наблюдений за небесными телами и сделал ряд революционных открытий, которые предоставили веские доказательства в пользу гелиоцентрической системы:

• Он обнаружил четыре спутника Юпитера (названные позже галилеевыми), что доказывало, что не все небесные тела вращаются вокруг Земли.
• Он наблюдал фазы Венеры, подобные лунным. Это явление было возможно объяснить только в том случае, если Венера вращается вокруг Солнца, а не Земли.
• Он увидел на Луне горы и кратеры, а на Солнце — пятна. Это разрушило аристотелевское представление о небесных телах как об идеальных, совершенных и неизменных сферах.

Учение Кеплера
Иоганн Кеплер (1571–1630) — немецкий математик и астроном, который совершил следующий великий прорыв после Коперника. Работая с чрезвычайно точными данными наблюдений датского астронома Тихо Браге, Кеплер пришел к выводу, что модель Коперника с круговыми орбитами неверна. Он заменил идеальные окружности на эллипсы, что позволило с высокой точностью описать движение планет. Кеплер сформулировал три фундаментальных закона движения планет:

1. Первый закон Кеплера: Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Это был окончательный отказ от догмы круговых орбит.
2. Второй закон Кеплера: Радиус-вектор планеты (линия, соединяющая планету и Солнце) за равные промежутки времени описывает равные площади. Это означает, что планета движется быстрее, когда находится ближе к Солнцу, и медленнее, когда удаляется от него.
3. Третий закон Кеплера: Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их эллиптических орбит. Математически это выражается как $T^2/a^3 = \text{const}$, где $T$ — период обращения, а $a$ — большая полуось орбиты.

Подготовьтесь к овладению новыми знаниями

18.24. Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? Изобразите соответствующие случаи.

Прямая и окружность могут иметь ноль, одну или две общие точки. Это зависит от их взаимного расположения, которое можно охарактеризовать, сравнивая расстояние от центра окружности до прямой с радиусом окружности.

Рассмотрим все три возможных случая.

Случай 1: Прямая и окружность не имеют общих точек.

В этом случае прямая проходит "мимо" окружности, не пересекая и не касаясь её. Расстояние от центра окружности до прямой ($d$) больше, чем её радиус ($r$).

Математически это условие записывается как $d > r$.

Изображение:

Ответ: 0 общих точек.

Случай 2: Прямая и окружность имеют одну общую точку.

В этом случае прямая касается окружности в одной-единственной точке. Такая прямая называется касательной к окружности, а общая точка — точкой касания. Расстояние от центра окружности до прямой ($d$) в точности равно её радиусу ($r$).

Математически это условие записывается как $d = r$.

Изображение:

Ответ: 1 общая точка.

Случай 3: Прямая и окружность имеют две общие точки.

В этом случае прямая пересекает окружность. Такая прямая называется секущей. Расстояние от центра окружности до прямой ($d$) меньше, чем её радиус ($r$).

Математически это условие записывается как $d < r$.

Изображение:

Ответ: 2 общие точки.